а)  Если наименьшее число = 3, то сумма шести наименьших чисел не меньше $3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8=33$ а их среднее арифметическое больше 5.
б)  Упорядочим числа по возрастанию и обозначим их $a_1,a_2,...,a_9,a_10$ Сумма шести наименьших чисел равна 30, сумма шести наибольших чисел равна  90, сумма всех десяти чисел равна  110. Тогда $a_1 + a_2 + ... + a_9 + a_10 + a_5 + a_6=120$ то есть $a_5 + a_6=10$ Но такого быть не может, поскольку $a_5\geqslant5$ и $a_6\geqslant6$
в)  Докажем, что $a_5 + a_6 \geqslant15$ Пусть $a_5 + a_6 \leqslant14$ тогда $a_1 + a_2 + a_3 + a_4\geqslant16$ значит, $a_4\geqslant6$ (иначе $a_1 + a_2 + a_3 + a_4\leqslant2 + 3 + 4 + 5=14$ ). Но тогда $a_5 + a_6 \geqslant7 + 8=15$ Противоречие. Значит, $a_5 + a_6 \geqslant15$ Таким образом, $a_1 + a_2 + ... + a_9 + a_10=120 - ( a_5 + a_6 ) \leqslant105$ Тогда среднее арифметическое всех 10 чисел не превосходит 10,5.
Среднее арифметическое набора 2, 3, 4, 6, 7, 8, 14, 16, 22, 23, удовлетворяющего условиям задачи, как раз =  10,5.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)   $10,5$