На асфальте мелом написали в ряд 333 цифры 3 и расставили между некоторыми из них знаки « + » и « - ».
А) Может ли значение полученного числового выражения равняться 333?
Б) У значения полученного выражения сложили все цифры, затем с полученным значением сделали то же самое, и так 3 раза. Могло ли в итоге получиться число 33?
В) Найдите все числа, которые могли получиться после 33‐х переходов, описанных в пункте б).
А) Может ли значение полученного числового выражения равняться 333?
Б) У значения полученного выражения сложили все цифры, затем с полученным значением сделали то же самое, и так 3 раза. Могло ли в итоге получиться число 33?
В) Найдите все числа, которые могли получиться после 33‐х переходов, описанных в пункте б).
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Да. Например, $333 + 3 - 3 + 3 - 3\ldots + 3 - 3$ (пара +3 − 3 повторяется 165 раз).
б) Полученное выражение будет не больше чем 333..., поэтому его сумма цифр не превосходит 3 · 333 = 999. Значит, выражение будет не более чем трехзначным и его сумма цифр будет не более чем 27. После третьего раза сумма цифр только уменьшится и не сможет стать 33.
в) После двух действий, как уже доказано, сумма может стать максимум 27. Значит, ее сумма цифр может стать максимум 10 (для числа 19), а затем станет однозначной и навсегда ей останется, перестав меняться.
Кроме того, полученное изначально выражение будет кратно трем, поэтому и его сумма цифр тоже, значит, и ее сумма цифр тоже и так далее. Шансы есть только у чисел 0, 3, 6, 9.
В пункте а) построен пример получения числа 333, которое дает 9.
Получить 0 можно следующим образом: $33 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - $
$ - 3 - 3 + 3 - 3 + 3 - 3 + \ldots + 3 - 3=0$
Кроме того, $3 + 3 - 3 + 3 - 3 + \ldots + 3 - 3=3$ и оно дает 3.
Наконец, $33333 + 3 - 3 + 3 - 3 + \ldots + 3 - 3=33333$ дает 15, из которого получается 6.
Ответ: а) да; б) нет; в) 0, 3, 6, 9.
б) Полученное выражение будет не больше чем 333..., поэтому его сумма цифр не превосходит 3 · 333 = 999. Значит, выражение будет не более чем трехзначным и его сумма цифр будет не более чем 27. После третьего раза сумма цифр только уменьшится и не сможет стать 33.
в) После двух действий, как уже доказано, сумма может стать максимум 27. Значит, ее сумма цифр может стать максимум 10 (для числа 19), а затем станет однозначной и навсегда ей останется, перестав меняться.
Кроме того, полученное изначально выражение будет кратно трем, поэтому и его сумма цифр тоже, значит, и ее сумма цифр тоже и так далее. Шансы есть только у чисел 0, 3, 6, 9.
В пункте а) построен пример получения числа 333, которое дает 9.
Получить 0 можно следующим образом: $33 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - $
$ - 3 - 3 + 3 - 3 + 3 - 3 + \ldots + 3 - 3=0$
Кроме того, $3 + 3 - 3 + 3 - 3 + \ldots + 3 - 3=3$ и оно дает 3.
Наконец, $33333 + 3 - 3 + 3 - 3 + \ldots + 3 - 3=33333$ дает 15, из которого получается 6.
Ответ: а) да; б) нет; в) 0, 3, 6, 9.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 0, 3, 6, 9
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70640 • Задание №17
Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
$система выражений новая строка y= дробь: чис...
ID 64563 • Задание №2
[рис.] Найдите сумму координат вектора $\overrightarrowa$ + $\overrightarrowb$...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение пункта а;
― обоснованное решение пункта б;
― оценка в пункте в;
― пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение пункта а;
― обоснованное решение пункта б;
― оценка в пункте в;
― пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...