а) Существует ли такое натуральное число n, что числа n2 и (n + 17)2 имеют одинаковые остатки при делении на 69?
б) Существует ли такое натуральное число n, что числа n2 и (n + 17)2 имеют одинаковые остатки при делении на 68?
в) Пусть k(m) — количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n2 и (n + m)2 имеют одинаковые остатки при делении на 68, причем m — двузначное натуральное число. Определите наименьшее значение k, отличное от нуля.
б) Существует ли такое натуральное число n, что числа n2 и (n + 17)2 имеют одинаковые остатки при делении на 68?
в) Пусть k(m) — количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n2 и (n + m)2 имеют одинаковые остатки при делении на 68, причем m — двузначное натуральное число. Определите наименьшее значение k, отличное от нуля.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Разность этих чисел равна
$( n + 17 ) ^2 - n ^2 = ( n + 17 - n ) ( n + 17 + n ) =17 ( 2n + 17 )$
Если выбрать n так, чтобы $2n + 17=69$ (то есть n = 26), то полученное число будет кратно 69, а изначальные два будут давать одинаковые остатки от деления на 69.
б) Одно из этих чисел четно, а другое нечетно. Значит, они не могут давать одинаковые остатки от деления на четное число.
в) Как и в пункте а), получим, что $( n + m ) ^2 - n ^2 =m ( 2n + m )$ кратно 68. Если m нечетно, то это произведение двух нечетных чисел и оно не кратно 68. Пусть $m=2x$ тогда
$m ( 2n + m ) =2x ( 2n + 2x ) =4x ( n + x )$
кратно 68. То есть $x ( n + x )$ кратно 17. Если x кратно 17, то все такие числа кратны 17, что нам невыгодно. Значит, n + x кратно 17. Подходящие n попадаются через каждые 17 чисел. В качестве x можно выбирать числа от 5 до 49 (поскольку 2x — двузначное число).
Среди чисел от 100 до 984 ровно 52 числа с каждым остатком от деления на 17. А среди чисел от 985 до 999 нет, например, числа с остатком 14 (таким числом было бы 1000). Поэтому если выбрать x = 20 (то есть m = 40), то будет 52 подходящих числа.
Ответ: а) да; б) нет; в) 52.
$( n + 17 ) ^2 - n ^2 = ( n + 17 - n ) ( n + 17 + n ) =17 ( 2n + 17 )$
Если выбрать n так, чтобы $2n + 17=69$ (то есть n = 26), то полученное число будет кратно 69, а изначальные два будут давать одинаковые остатки от деления на 69.
б) Одно из этих чисел четно, а другое нечетно. Значит, они не могут давать одинаковые остатки от деления на четное число.
в) Как и в пункте а), получим, что $( n + m ) ^2 - n ^2 =m ( 2n + m )$ кратно 68. Если m нечетно, то это произведение двух нечетных чисел и оно не кратно 68. Пусть $m=2x$ тогда
$m ( 2n + m ) =2x ( 2n + 2x ) =4x ( n + x )$
кратно 68. То есть $x ( n + x )$ кратно 17. Если x кратно 17, то все такие числа кратны 17, что нам невыгодно. Значит, n + x кратно 17. Подходящие n попадаются через каждые 17 чисел. В качестве x можно выбирать числа от 5 до 49 (поскольку 2x — двузначное число).
Среди чисел от 100 до 984 ровно 52 числа с каждым остатком от деления на 17. А среди чисел от 985 до 999 нет, например, числа с остатком 14 (таким числом было бы 1000). Поэтому если выбрать x = 20 (то есть m = 40), то будет 52 подходящих числа.
Ответ: а) да; б) нет; в) 52.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 52
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64589 • Задание №2
[рис.] В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ Найдит...
ID 66280 • Задание №8
Дано уравнение $4 в степени левая круглая скобка синус x умножить на косинус x правая круглая скобка =2 в степ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а — г. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а — г. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...