Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно = $100a + 10b + c$
а)  Получаем:

$\frac{\overlineabc}{a + b + c} = 11 = сильно 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c = сильно 89a = b + 10c$

При $a = 1$ $b = 9$ $c = 8$ равенство будет выполнено. Следовательно, 198  — один из возможных примеров.
б)  Получаем:

$\frac{\overlineabc}{a + b + c} = 5 = сильно 100a + 10b + c = 5a + 5b + 5c = сильно 95a + 5b = 4c$

Но $a больше или = 1$ $b больше или = 0$ $c меньше или = 9$ следовательно, левая часть равенства не меньше 95, а правая часть не больше 36. Противоречие.
в)  Число имеет вид $700 + 10b + c$ необходимо найти наибольшее целое значение выражения $\frac{700 + 10b + c}{7 + b + c}$ Разберем случаи, когда $b + c меньше или = 2$ (см. табл.). Для таких b и c наибольшее отношение =  80.

b | c | $\frac{700 + 10b + c}{7 + b + с}$

0 | 1 | $\frac{701}{8}$

0 | 2 | $\frac{702}{9}$

1 | 0 | $\frac{710}{8}$

1 | 1 | $\frac{711}{9} = 79$

2 | 0 | $\frac{720}{9} = 80$

При $b + c больше или = 3$ справедлива оценка

$\frac{700 + 10b + c}{7 + b + c} меньше или = $\frac{799}{10}$ = 79,9$

поэтому в этом случае наибольшее возможное отношение меньше 80. Следовательно, наибольшее возможное отношение достигается при $b = 2$ $c = 0$ оно =  80.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  80.

Приведём решение пункта б) Дьяковой Дарьи (Москва).
Положим $S = a + b + c$ и запишем условие $\frac{\overlineabc}{a + b + c} = 5$ в виде $S = \frac{\overlineabc}{5}$ По условию, S натуральное, а значит, число $\overlineabc$ должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Наименьшее возможное значение S соответствует наименьшему $\overlineabc$ поэтому $S больше или = $\frac{100}{5}$ = 20$ С другой стороны, $S меньше или = 9 + 9 + 0 = 18$ Полученное противоречие показывает, что среди трехзначных чисел, оканчивающихся нулем, искомого нет.
Рассмотрим числа $\overlineabc$ оканчивающиеся на 5. В этом случае $S больше или = $\frac{105}{5}$ = 21$ С другой стороны, $S меньше или = 9 + 9 + 5 = 23$ Выпишем трехзначные числа, заканчивающиеся на 5, сумма цифр которых не меньше 21 и не больше 23. Получим числа 995, 985, 975, 895, 885, 795. Но каждое из найденных чисел при делении на 5 даст больше 23. Следовательно, среди трехзначных чисел, оканчивающихся на 5, искомого тоже нет.

Примечание.
Пример числа, удовлетворяющего требованиям пункта а), единственный. Действительно, при $a больше или = 1$ $b больше или = 0$ $с меньше или = 9$ левая часть равенства $89a = b + 10c$ не меньше 89. А правая часть при $c меньше 8$ не больше 79, при $c больше 8$ не меньше 90.
Другие пути решения аналогичных задач показаны нами в заданиях 563580 и 563659.