а)  Очевидно, если $n больше или = 4$ то в n! входят множители 2 и 4, поэтому $n!$ кратно 8. С другой стороны, $3!=6$ что не кратно 8.
б)  Имеем:

$( n + 2 ) ! - 42n!= ( n + 2 ) ( n + 1 ) n! - 42n!=$
$=n! ( n ^2 + 3n + 2 - 42 ) =n! ( n ^2 + 3n - 40 ) =n! ( n + 8 ) ( n - 5 )$ $( n + 2 ) ! - 42n!= ( n + 2 ) ( n + 1 ) n! - 42n!=$
$=n! ( n ^2 + 3n + 2 - 42 ) =$
$=n! ( n ^2 + 3n - 40 ) =n! ( n + 8 ) ( n - 5 )$

что отрицательно только при $n меньше 5$
в)  Ясно, что при $n больше или = 13$ число n! содержит множитель 13, поэтому указанное выражение кратно 13. При $n меньше 13$ запишем выражение как $n! ( n! - 12 )$ и будем последовательно проверять числа n, меньшие 13.
Пусть $n=12$ тогда первый множитель не кратен 13, а второй кратен. Действительно, (знак $\equiv$ означает, что у чисел одинаковые остатки при делении на 13):

$12!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12=120 \cdot 42 \cdot 72 \cdot 1320\equiv 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7=441\equiv 12$ $12!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12=$
$=120 \cdot 42 \cdot 72 \cdot 1320\equiv 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7=441\equiv 12$

Следовательно, разность 12! и 12 при делении на 13 дает нулевой остаток, то есть делится на 13 нацело.
Проверим $n = 11:$ поскольку 12! дает остаток 12 при делении на 13, то $11!= \frac{12!}{12}$ дает остаток 1 при делении на 13, а значит, число $11! - 12$ не будет кратно 13.

Ответ: а)  3; б)  4; в)  11.

Примечание.
Показать, что $12! - 12$ кратно 13 можно было, сославшись на теорему Вильсона: число $( p - 1 ) ! + 1$ делится на p тогда и только тогда, когда p  — простое. В нашем случае, число $12! - 12 = ( 13 - 1 ) ! - ( 13 - 1 )$ кратно 13.