а)  Если это число 1, то оно квадрат, но оно запрещено по условию. Кроме него таких чисел нет. В самом деле, 10 не квадрат, а любое другое число кончается либо на 101, либо на 010, поэтому при делении на 8 дает остаток 5 или 2. (Напомним, что число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами делится на 8).
Однако квадраты чисел при делении на 8 дает в остатке лишь 0, 1, 4. Докажем это, рассмотрев квадраты чисел, дающих различные остатки от деления на 4 (см.  табл.)

x | x2 | Остаток
от деления на 8

$4k$ | $16k ^2$ | 0

$4k + 1$ | $16k ^2 + 8k + 1$ | 1

$4k + 2$ | $16k ^2 + 16k + 4$ | 4

$4k + 3$ | $16k ^2 + 24k + 9$ | 1

Полученное противоречие доказывает требуемое.
б)  Числа, заканчивающиеся нулем, четные, а потому составные. Простыми могут быть только числа, заканчивающиеся на единицу, то есть числа

101,      10 101,      1 010 101,      ...

Число 101    — простое. Если умножить любое из оставшихся чисел на 11, получим число, записывающееся четным числом единиц и раскладывающееся множители вида $11 \ldots 1 \cdot 10 \ldots 01$ (В первом множителе вдвое меньше единиц, чем в самом полученном числе. Например, из числа 1 010 101 умножением на 11 получаем 11 111 111  =  1111 · 10 001.) Оба множителя больше 11, поэтому после деления одного из них на 11, оставшиеся множители все еще будут больше единицы, и число будет составным.
в)  Заметим, что 10101 кратно 13. Поэтому при делении числа на 13 в столбик от него будут отрезаться первые 6 цифр и дальше нужно будет делить число такого же вида, в котором на три единицы меньше. Значит, остается проверить только числа с одной, двумя и тремя единицами. Лишь последнее кратно 13. Поэтому количество единиц должно быть кратно трем.

Ответ: а)  нет; б)  только число 101; в)  любое, кратное трем, количество единиц..