а)  Для того, чтобы сумма трёх идущих подряд чисел была нечётна, рядом с каждым чётным числом должны стоять числа разной чётности, а рядом с каждым нечётным  — числа одинаковой чётности. Предположим, что среди чисел есть чётное число, тогда для того, чтобы сумма трёх чисел была нечётна, рядом с ним должно стоять одно чётное и одно нечётное число: ... Ч, Ч, Н... но рядом с нечётным, должны быть числа одинаковой чётности, поэтому получаем: ...Ч, Ч, Н, Ч... Но тогда сумма указанных четырёх чисел нечетна и не может делиться на 4. Значит, среди расставленных чисел чётных чисел нет. Количество нечётных чисел, не превосходящих 425 = 213. Значит, $N меньше или = 213$ и не может равняться 280.
б)  Нечётные числа при делении на 4 могут давать остатки 1 и 3. Для того чтобы сумма любых четырёх идущих подряд чисел делилась на 4, нужно либо использовать только числа, которые дают одинаковые остатки, но их не больше 107, тогда $N меньше или = 107$ что не подходит, либо числа, дающие разные остатки, должны чередоваться (...1, 3, 1, 3... или ... 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3...) так, чтобы в каждых четырех идущих подряд числах было по два числа, дающих разные остатки, но тогда их поровну, и число N четное. Значит, N не может равняться 149.
в)  Из рассуждений в пунктах а) и б) получаем, что $N меньше 213$ Приведём пример для $N=212:$

$( ... 423 ) , \underbrace 1, 3, 5, 7, 9, ..., 417, 419, 421, 423,_212 чисел ( 1 ... )$

Значит, наибольшее значение $N=212$

Ответ: а)  нет, не может; б)  нет, не может; в)  212.