На доске в одну строку слева направо написаны n натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего.
а) Могли ли при n = 3 на доске быть написаны ровно 11 цифр (например, если на доске написаны числа 5, 25 и 625, то написаны ровно 6 цифр)?
б) Могли ли при n = 3 на доске быть написаны ровно 12 цифр?
в) Какое самое маленькое число может быть написано на доске при n = 4, если на доске написано ровно 22 цифры?
а) Могли ли при n = 3 на доске быть написаны ровно 11 цифр (например, если на доске написаны числа 5, 25 и 625, то написаны ровно 6 цифр)?
б) Могли ли при n = 3 на доске быть написаны ровно 12 цифр?
в) Какое самое маленькое число может быть написано на доске при n = 4, если на доске написано ровно 22 цифры?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Заметим, что если в числе k цифр (то есть оно находится в границах от $10 в степени ( k - 1 )$ до $10 в степени k - 1 )$ то его квадрат находится в границах $10 в степени ( 2k - 2 )$ до $10 в степени ( 2k ) - 1$ и потому имеет либо $2k - 1$ либо 2k цифр.
а) Если начальное число двузначно, его квадрат трехзначен, а его квадрат шестизначен, такое может произойти. Например, годятся 31, $31 ^2 =961$ $961 ^2 больше 400 ^2 =160 000$
б) Если начальное число имеет две цифры, то его квадрат имеет либо 3, либо 4, а квадрат этого квадрата имеет 5 или 6 цифр в первом случае и 7 или 8 во втором. Но $2 + 3 + 6 меньше 12 меньше 2 + 4 + 7$
Если начальное число имеет три цифры или больше, то следующие имеют минимум 5 и 9 цифр, в сумме больше 12. Наконец, для однозначного числа квадрат имеет не более двух цифр, а его квадрат — не более четырех.
в) Если начальное число имеет три цифры или больше, то все числа вместе имеют минимум $3 + 5 + 9 + 17 больше 22$ цифр, а если имеет лишь одну цифру, то все числа вместе имеют максимум $1 + 2 + 4 + 8 меньше 22$ цифр. Значит, начальное число двузначное.
Если его квадрат четырехзначен, то все числа вместе имеют минимум $2 + 4 + 7 + 15 больше 22$ цифр, значит, его квадрат трехзначен.
Если третье число (квадрат квадрата) пятизначно, то все числа вместе имеют максимум $2 + 3 + 5 + 10 меньше 22$ цифр. Значит, оно шестизначно, а последнее число имеет $22 - 2 - 3 - 6=11$ цифр. Итак, нужно наименьшее двузначное число a, такое что:
$a ^2 принадлежит [ 100; 1000 )$ $a в степени 4 принадлежит [ 10 в степени 5 ; 10 в степени 6 - 1 )$ $a в степени 8 принадлежит [ 10 в степени ( 10 ) ; 10 в степени ( 11 ) - 1 ]$
Отметим также, что если $a меньше b$ — натуральные числа, то и $a в степени k меньше b в степени k$ при всех натуральных значениях k поэтому ak имеет не больше цифр, чем bk.
При n = 17 имеем:
$17 в степени 8 =289 в степени 4 меньше 300 в степени 4 =81 \cdot 10 в степени 8 меньше 10 в степени ( 10 )$
поэтому 17 и все меньшие числа не подходят.
При $n=18$ имеем:
$18 ^2 =324$ $18 в степени 4 =324 ^2 больше 320 ^2 =102 400$ $18 в степени 8 =324 в степени 4 меньше 400 в степени 4 =256 \cdot 10 в степени 8 меньше 10 в степени ( 11 )$
поэтому 18 подходит. Это и есть искомое наименьшее натуральное число. Дополнительно заметим, что
Ответ: а) да; б) нет; в) 18.
а) Если начальное число двузначно, его квадрат трехзначен, а его квадрат шестизначен, такое может произойти. Например, годятся 31, $31 ^2 =961$ $961 ^2 больше 400 ^2 =160 000$
б) Если начальное число имеет две цифры, то его квадрат имеет либо 3, либо 4, а квадрат этого квадрата имеет 5 или 6 цифр в первом случае и 7 или 8 во втором. Но $2 + 3 + 6 меньше 12 меньше 2 + 4 + 7$
Если начальное число имеет три цифры или больше, то следующие имеют минимум 5 и 9 цифр, в сумме больше 12. Наконец, для однозначного числа квадрат имеет не более двух цифр, а его квадрат — не более четырех.
в) Если начальное число имеет три цифры или больше, то все числа вместе имеют минимум $3 + 5 + 9 + 17 больше 22$ цифр, а если имеет лишь одну цифру, то все числа вместе имеют максимум $1 + 2 + 4 + 8 меньше 22$ цифр. Значит, начальное число двузначное.
Если его квадрат четырехзначен, то все числа вместе имеют минимум $2 + 4 + 7 + 15 больше 22$ цифр, значит, его квадрат трехзначен.
Если третье число (квадрат квадрата) пятизначно, то все числа вместе имеют максимум $2 + 3 + 5 + 10 меньше 22$ цифр. Значит, оно шестизначно, а последнее число имеет $22 - 2 - 3 - 6=11$ цифр. Итак, нужно наименьшее двузначное число a, такое что:
$a ^2 принадлежит [ 100; 1000 )$ $a в степени 4 принадлежит [ 10 в степени 5 ; 10 в степени 6 - 1 )$ $a в степени 8 принадлежит [ 10 в степени ( 10 ) ; 10 в степени ( 11 ) - 1 ]$
Отметим также, что если $a меньше b$ — натуральные числа, то и $a в степени k меньше b в степени k$ при всех натуральных значениях k поэтому ak имеет не больше цифр, чем bk.
При n = 17 имеем:
$17 в степени 8 =289 в степени 4 меньше 300 в степени 4 =81 \cdot 10 в степени 8 меньше 10 в степени ( 10 )$
поэтому 17 и все меньшие числа не подходят.
При $n=18$ имеем:
$18 ^2 =324$ $18 в степени 4 =324 ^2 больше 320 ^2 =102 400$ $18 в степени 8 =324 в степени 4 меньше 400 в степени 4 =256 \cdot 10 в степени 8 меньше 10 в степени ( 11 )$
поэтому 18 подходит. Это и есть искомое наименьшее натуральное число. Дополнительно заметим, что
Ответ: а) да; б) нет; в) 18.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 18
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68875 • Задание №15
Решите неравенство: $левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в кубе x плюс 1, знаменате...
ID 69373 • Задание №15
На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка М, отличная от вершин, что МС = АС. Точка Р симметрична точке ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...