а)  Заметим, что $460=44 \cdot 10 + 4 \cdot 5$ причем на 10 чисел, равных 44 и 5 чисел, равных 4, ушло ровно 25 четверок.
б)  Остаток от деления на 9 любого числа совпадает с остатком от деления на 9 его суммы цифр. Кроме того, остаток суммы равен сумме остатков слагаемых (возможно, уменьшенной на определенное число, кратное 9). Значит, остаток от деления любой такой суммы на 9 совпадает с остатком от деления $4 + 4 + \ldots 4=4 \cdot 25=100$ на 9 и равен 1. Но  800 дает остаток  8 при делении на  9.
в)  Из предыдущего пункта следует, что 4n должно давать тот же остаток при делении на 9, что и 800, то есть 8. Значит, $4n - 8=4 ( n - 2 )$ кратно 9, поэтому n дает остаток 2 при делении на 9.
Для получения суммы 800 можно использовать только слагаемые 4, 44, 444, причем последнее не более одного раза. Поскольку $444 + 4 \cdot 44 меньше 800$ и $6 \cdot 44 меньше 800$ использовать 11 и менее четверок невозможно. Тогда $444 + 8 \cdot 44 + 4=800$ это позволяет использовать 20 четверок.
Заменяя по очереди каждое 44 на сумму одиннадцати четверок, мы будем увеличивать общее количество цифр на 9, что даст варианты с $n=29, 38, \ldots, 92$ четверками.
Далее, $11 \cdot 44 + 79 \cdot 4=800$ это позволяет использовать 101 четверку. После этого вновь заменяя 44 на сумму одиннадцати четверок, мы получим варианты 110, 121, ..., 200.
Больше нельзя, поскольку любое число из k четверок не меньше 4k, значит, сумма чисел, в которых более двухсот четверок, больше 800. Итак, $n=20, 29, 38, \ldots, 200$ Эти числа можно записать в виде $11 + 9x$ где $x принадлежит [ 1; 21 ]$ всего 21 число.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  21.