Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию $a больше b больше c больше d$
а) Найдите a, b, c и d, если $a + b + c + d=16$ а $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =32$
б) Может ли быть $a + b + c + d = 29$ и $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 = 29?$
в) Пусть $a + b + c + d = 1400$ и $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 = 1400$ Найдите количество возможных значений числа a.
а) Найдите a, b, c и d, если $a + b + c + d=16$ а $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =32$
б) Может ли быть $a + b + c + d = 29$ и $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 = 29?$
в) Пусть $a + b + c + d = 1400$ и $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 = 1400$ Найдите количество возможных значений числа a.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Выпишем упорядоченные наборы чисел, дающие в сумме 16. Из порядка выписывания понимаем, что никакой набор мы не пропустим. Получаем:
$10, 3, 2, 1$
$9, 4, 2, 1$
$8, 5, 2, 1$
$8, 4, 3, 1$
$7, 6, 2, 1$
$7, 5, 3, 1$
$7, 4, 3, 2$
$6, 5, 4, 1$
$6, 5, 3, 2$
Из них подходит только 7, 5, 3 и 1.
б) Заметим сразу, что
$a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 = ( a + b ) ( a - b ) + ( c + d ) ( c - d ) больше или = ( a + b ) \cdot 1 + ( c + d ) \cdot 1 = a + b + c + d$ $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =$
$= ( a + b ) ( a - b ) + ( c + d ) ( c - d ) больше или = ( a + b ) \cdot 1 + ( c + d ) \cdot 1 = a + b + c + d$ $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =$
$= ( a + b ) ( a - b ) + ( c + d ) ( c - d ) больше или = ( a + b ) \cdot 1 + ( c + d ) \cdot 1 =$
$= a + b + c + d$
причем равенство возможно только при $a - b = c - d = 1$ Значит, $a = b + 1$ $c = d + 1$ и
$29 = a + b + c + d = b + 1 + b + d + 1 + d = 2d + 2b + 2$
откуда $b + d = \frac{27}{2}$ что невозможно.
в) Как и в пункте б) получаем, что $a = b + 1$ $c = d + 1$ и $1400 = 2d + 2b + 2$ откуда $b + d = 699$ При этом $b больше или = c + 1 больше или = d + 2$ Значит, в качестве d можно взять любое число от 1 до 348. При таких d получаем:
$b = 699 - d больше или = 699 - 348 = 351 больше 348 + 2 больше или = d + 2$
Число 349 и еще больше брать нельзя, иначе $b = d + 1$ или даже $b меньше d$
Каждому выбору d соответствует единственный набор из четырех чисел, $a = 700 - d$ $b = 699 - d$ $c = d + 1$ d. Итого их 348.
Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 348.
$10, 3, 2, 1$
$9, 4, 2, 1$
$8, 5, 2, 1$
$8, 4, 3, 1$
$7, 6, 2, 1$
$7, 5, 3, 1$
$7, 4, 3, 2$
$6, 5, 4, 1$
$6, 5, 3, 2$
Из них подходит только 7, 5, 3 и 1.
б) Заметим сразу, что
$a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 = ( a + b ) ( a - b ) + ( c + d ) ( c - d ) больше или = ( a + b ) \cdot 1 + ( c + d ) \cdot 1 = a + b + c + d$ $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =$
$= ( a + b ) ( a - b ) + ( c + d ) ( c - d ) больше или = ( a + b ) \cdot 1 + ( c + d ) \cdot 1 = a + b + c + d$ $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =$
$= ( a + b ) ( a - b ) + ( c + d ) ( c - d ) больше или = ( a + b ) \cdot 1 + ( c + d ) \cdot 1 =$
$= a + b + c + d$
причем равенство возможно только при $a - b = c - d = 1$ Значит, $a = b + 1$ $c = d + 1$ и
$29 = a + b + c + d = b + 1 + b + d + 1 + d = 2d + 2b + 2$
откуда $b + d = \frac{27}{2}$ что невозможно.
в) Как и в пункте б) получаем, что $a = b + 1$ $c = d + 1$ и $1400 = 2d + 2b + 2$ откуда $b + d = 699$ При этом $b больше или = c + 1 больше или = d + 2$ Значит, в качестве d можно взять любое число от 1 до 348. При таких d получаем:
$b = 699 - d больше или = 699 - 348 = 351 больше 348 + 2 больше или = d + 2$
Число 349 и еще больше брать нельзя, иначе $b = d + 1$ или даже $b меньше d$
Каждому выбору d соответствует единственный набор из четырех чисел, $a = 700 - d$ $b = 699 - d$ $c = d + 1$ d. Итого их 348.
Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 348.
Правильный ответ:
а) a = 7, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 348
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68238 • Задание №14
В правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны. Точки M и N — середины ребер SA и SC соответственно.
...
ID 64747 • Задание №3
[рис.] Найдите угол EAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. От...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...