[рис.] а)  Обозначим  T середину ребра  AC, P  — точку пересечения прямых MN и ST, Q  — точку пересечения прямых BP и SH. Прямые BP и SH лежат в плоскости SBT. Так как отрезок MN  — средняя линия треугольника SAC, то точка P  — середина отрезка ST. Прямая BP лежит в плоскости BMN, следовательно, точка Q есть точка пересечения плоскости BMN с высотой SH. Запишем теорему Менелая для треугольника SOT и прямой BP, получим:

$\frac{SQ}{QH} \cdot $\frac{OB}{BT}$ \cdot $\frac{TP}{PS}$ = 1$

откуда

$\frac{SQ}{QH} = $\frac{BT}{OB}$ \cdot $\frac{PS}{TP}$ = \frac{3}{2}$

б)  Заметим, что плоскости BAC и BMN содержат по одной из пары параллельных прямых AC и MN, следовательно, линия пересечения указанных плоскостей параллельна этим прямым. Прямая BT является проекцией прямой BP на плоскость АВС. При этом прямая BT перпендикулярна прямой AC, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, прямая BP перпендикулярна прямой AC. Таким образом, каждая из прямых BP и BTперпендикулярны линии пересечения плоскостей BAC и BMN, а потому PBT  — линейный угол угла между этими плоскостями. Находим:

$BT = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} AC = 6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$BH = $\frac{2}{3}$ BT = 4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$SH = $\sqrt{аргумента: SB ^2 - BH ^2}$ аргумента = 4 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$

Тогда:

$\frac{QH}{SH} = $\frac{QH}{SQ + QH}$ = \frac{2}{5}$

где $QH = $\frac{2}{5}$ SH = \frac{8 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{5}$ Таким образом,

$\text{tg} \angle PBT = $\frac{QH}{BH}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}$

то есть $\angle PBT = \arctan { \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}$

Ответ: б)   $\angle PBT = \arctan { \frac{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{5}$