Сократим все эти числа на их наибольший общий делитель. От этого их сумма (а значит и среднее арифметическое) уменьшатся во столько же раз. Итак, можно считать, что наибольший общий делитель чисел равен 1.
а)  Сумма этих чисел должна быть равна $500 \cdot 800 = 400 000$ Возьмем числа 1, 2, ..., 799, их сумма равна

$\frac{1 + 799}{2} \cdot 799 = 319 600$

и еще число $400 000 - 319 600 = 80 400$ Этот набор удовлетворяет условию задачи.
б)  Нет. Сумма этих чисел должна быть равна $400 \cdot 800=320 000$ Но сумма даже самых маленьких 800 чисел равна

$319 600 + 800 = 320 400$

в)  Из доказательства пункта б) ясно, что быть меньше 400 среднее арифметическое тоже не может. Если же оно =  401 (то есть сумма чисел равна $401 \cdot 800 = 320 800 )$ то можно взять числа 1, 2, ..., 799 и

$320 800 - 319 600 = 1200$

Наборы чисел в пунктах а) и в) действительно имеют наибольший общий делитель 1, поскольку содержат число 1.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  401.