Делитель d натурального числа n будем называть специальным, если числа d и $f= \frac{n}{d}$ взаимно простые. Очевидно, что f также является специальным делителем и $d не = q f$ при $n больше 1$ При n = 1 есть единственный делитель d = 1. и хотя $f= $\frac{n}{d}$ =1=d$ будем считать d = 1 специальным делителем, так как d и f взаимно простые числа.
а) Сколько последовательных натуральных чисел могут иметь только специальные делители?
б) Для каких чисел n сумма всех специальных делителей нечетная?
в) Найдите все числа $n меньше или = 100$ у которых количество всех делителей в 3 раза больше, чем количество специальных делителей.
а) Сколько последовательных натуральных чисел могут иметь только специальные делители?
б) Для каких чисел n сумма всех специальных делителей нечетная?
в) Найдите все числа $n меньше или = 100$ у которых количество всех делителей в 3 раза больше, чем количество специальных делителей.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Все делители натурального числа устроены так: нужно разложить число на простые множители, выбрать из них только некоторые и перемножить. Для специальности делителя нужно также, чтобы все копии одного и того же простого множителя либо были взяты, либо наоборот не были взяты.
а) Если хоть одно простое число входит в разложение данного не в первой степени, можно взять одним делителем это простое, а другим — произведение остальных простых, и они не будут специальными. Ясно, что каждое четвертое число кратно 4 и для числа 4x делитель 2 специальным не будет. Значит, чисел может быть не более трех. Числа 33, 34, 35 подходят.
б) Если число имеет k различных нечетных простых делителей, то оно имеет 2k нечетных специальных делителей (поскольку каждый простой делитель может войти или не войти в разложение специального делителя, причем если входит, то в максимально возможной для себя степени. Это число четно кроме случая k = 0, то есть случая, когда число — степень двойки. Степени двойки имеют специальные делители только себя и единицу и потому подходят, поскольку их сумма нечетна (даже для 20 это так).
в) Число вида $p_1 в степени ( k_1 ) \cdot \ldots \cdot p_x в степени ( k_x )$ имеет 2x специальных делителей и $( k_1 + 1 ) \ldots ( k_x + 1 )$ всего делителей. Любое число до 100 имеет не более трех различных простых множителей. Разберем случаи.
Если простой множитель всего один, то специальных делителей два, поэтому всех делителей должно быть шесть. Значит, число имеет вид p5, поэтому подходит только p = 2 $( 3 в степени 5 больше 100 )$ Итак, 32 это первое такое число..
Если простых множителя два, то специальных делителей 4, а всех делителей 12. Тогда число имеет вид $p в степени 5 q$ или $p ^3 q ^2$ Первое возможно при $p=2, q=3$ (получается 96), а прочие варианты дают числа больше 100, поскольку $3 в степени 5 больше 100$ Следовательно, p = 2, при этом даже $2 в степени 5 \cdot 5 больше 100$ и второе возможно при тех же p и q: $2 ^3 \cdot 3 ^2 =72$ а прочие варианты дают числа больше 100, поскольку $3 ^3 \cdot 2 ^2 больше 100$ получаем что p = 2, при этом даже $2 ^3 \cdot 5 ^2 больше 100$
Если простых множителя три, то специальных делителей 8, а всех делителей 24, что невозможно (все делители числа n разбиваются на пары дающих в произведении n, поэтому в каждой паре есть число, не большее $\sqrt{аргумента: n} аргумента меньше или = $\sqrt{аргумента: 100}$ аргумента = 10$ поэтому и пар не больше 10).
Ответ: а) 3; б) степени двойки; в) 32, 72, 96.
а) Если хоть одно простое число входит в разложение данного не в первой степени, можно взять одним делителем это простое, а другим — произведение остальных простых, и они не будут специальными. Ясно, что каждое четвертое число кратно 4 и для числа 4x делитель 2 специальным не будет. Значит, чисел может быть не более трех. Числа 33, 34, 35 подходят.
б) Если число имеет k различных нечетных простых делителей, то оно имеет 2k нечетных специальных делителей (поскольку каждый простой делитель может войти или не войти в разложение специального делителя, причем если входит, то в максимально возможной для себя степени. Это число четно кроме случая k = 0, то есть случая, когда число — степень двойки. Степени двойки имеют специальные делители только себя и единицу и потому подходят, поскольку их сумма нечетна (даже для 20 это так).
в) Число вида $p_1 в степени ( k_1 ) \cdot \ldots \cdot p_x в степени ( k_x )$ имеет 2x специальных делителей и $( k_1 + 1 ) \ldots ( k_x + 1 )$ всего делителей. Любое число до 100 имеет не более трех различных простых множителей. Разберем случаи.
Если простой множитель всего один, то специальных делителей два, поэтому всех делителей должно быть шесть. Значит, число имеет вид p5, поэтому подходит только p = 2 $( 3 в степени 5 больше 100 )$ Итак, 32 это первое такое число..
Если простых множителя два, то специальных делителей 4, а всех делителей 12. Тогда число имеет вид $p в степени 5 q$ или $p ^3 q ^2$ Первое возможно при $p=2, q=3$ (получается 96), а прочие варианты дают числа больше 100, поскольку $3 в степени 5 больше 100$ Следовательно, p = 2, при этом даже $2 в степени 5 \cdot 5 больше 100$ и второе возможно при тех же p и q: $2 ^3 \cdot 3 ^2 =72$ а прочие варианты дают числа больше 100, поскольку $3 ^3 \cdot 2 ^2 больше 100$ получаем что p = 2, при этом даже $2 ^3 \cdot 5 ^2 больше 100$
Если простых множителя три, то специальных делителей 8, а всех делителей 24, что невозможно (все делители числа n разбиваются на пары дающих в произведении n, поэтому в каждой паре есть число, не большее $\sqrt{аргумента: n} аргумента меньше или = $\sqrt{аргумента: 100}$ аргумента = 10$ поэтому и пар не больше 10).
Ответ: а) 3; б) степени двойки; в) 32, 72, 96.
Правильный ответ:
а) 3; б) степени двойки; в) 32, 72, 96
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66403 • Задание №10
Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются ...
ID 71832 • Задание №19
Лесная шахматная школа провела шахматный турнир. В нём принимали участие Волк, Лиса и Заяц. Каждый из них сыгр...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...