Если разложение числа на простые множители имеет вид $p_1 в степени ( k_1 ) p_2 в степени ( k_2 ) \ldots p_x в степени ( k_x )$ оно имеет $( k_1 + 1 ) ( k_2 + 1 ) \ldots ( k_x + 1 )$ делителей.
Уравнение

$( k_1 + 1 ) ( k_2 + 1 ) \ldots ( k_x + 1 ) = 21$

превращается в тождество при $x=1$ $k_1=20$ и при $x=2$ $k_1=2$ $k_2=6$ То есть число имеет вид либо p20, либо p2q6, где p, q  — простые.
а)  Да. Например, можно взять $n = 3 ^2 \cdot 7 в степени 6$
б)  Делителями 14n, в частности, являются все делители n, поэтому их не менее 21.
в)  Число $n = 2 ^2 \cdot 7 в степени 6$ имеет ровно 21 делитель, при этом $14n = 2 ^3 \cdot 7 в степени 7$ имеет $4 \cdot 8 = 32$ делителя.
Если взять число вида p2q6 или p20 не кратным 2, количество делителей как минимум удвоится (можно взять все старые делители и все старые делители, умноженные на 2  — все они будут различны). Аналогично и в случае, когда это число не кратно 7. Значит, оно кратно и 2, и 7 поэтому = 22 · 76 или 72 · 26. Для них ответы одинаковы.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  32.