Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на 5 больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, 40, 45, 50 — удачная тройка.
а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа 50, 60 и ещё одно число, большее 60?
б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой = 15?
в) Какое наибольшее количество чисел от 1 до 100 включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?
а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа 50, 60 и ещё одно число, большее 60?
б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой = 15?
в) Какое наибольшее количество чисел от 1 до 100 включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Пусть удачная тройка это числа a, b и c, причём $a меньше b меньше c$ Тогда
$c больше b больше a больше или = $\frac{b + c}{3}$ + 5 больше $\frac{a + c}{3}$ + 5 больше $\frac{a + b}{3}$ + 5$
То есть при выполнении условия $a больше или = $\frac{b + c}{3}$ + 5$ для наименьшего числа в тройке, аналогичные условия для остальных чисел в тройке будут выполнены автоматически.
а) По условию $a=50$ $b=60$ Тогда из неравенства $a больше или = $\frac{b + c}{3}$ + 5$ получаем
$50 больше или = $\frac{60 + c}{3}$ + 5 = сильно 150 больше или = 60 + c + 15 = сильно c меньше или = 75$
Таким образом, $60 меньше c меньше или = 75$ Значит, существует 15 удачных троек: 50, 60, 61; 50, 60, 62; ... 50, 60, 75.
б) Для чисел a, b и c справедливы неравенства
$a больше или = $\frac{b + c}{3}$ + 5 больше или = $\frac{a + 1 + a + 2}{3}$ + 5 = сильно 3a больше или = 2a + 3 + 15 = сильно a больше или = 18$
Значит, не может быть удачной тройки, одно из чисел которой = 15.
в) Если в числах расставленных по кругу любые три подряд идущих числа образуют удачную тройку, значит, каждое число, в том числе и наименьшее, входит минимум в три тройки, при условии, что чисел не меньше пяти. При любом порядке чисел наименьшее число а обязательно должно попасть в тройку с числом не меньшим чем a + 4. Тогда
$a больше или = $\frac{a + 1 + a + 4}{3}$ + 5 = сильно a больше или = 20$
Равенство достигается только в случае, если ни в одну тройку с числом 20 не попадает число большее 24. Тогда возможны только два способа расстановки чисел для троек включающих число 20:
... 23, 22, 20, 21, 24, ... или ... 22, 23, 20, 21, 24, ...
Тогда для тройки 21, 24, m должно выполняться неравенство
$21 больше или = $\frac{24 + m}{3}$ + 5 = сильно m меньше или = 24$
Все числа, удовлетворяющие этому условию, уже использованы. Значит, при использовании числа 20 по кругу можно расставить не более пяти чисел.
Если наименьшим числом является число 21, то по кругу можно расставить не более 80 чисел, равенство достигается если будут использованы все числа от 21 до 100. Приведем пример такой расстановки: по убыванию расставим все чётные числа, начиная с числа 100 и заканчивая числом 22, затем по возрастанию расставим все нечетные числа, начиная с числа 21 и заканчивая числом 99.
100, 98, 96, 94, ...26, 24, 22, 21, 23, 25, 27, ...95, 97, 99, (100).
При такой расстановке для любых трёх подряд идущих чисел наибольшее число не превышает наименьшее более чем на 4, а среднее более чем на 2. Тогда
$a больше или = $\frac{a + 2 + a + 4}{3}$ + 5 = сильно a больше или = 21$
и условие $a больше или = $\frac{b + c}{3}$ + 5$ выполнено для любых трёх подряд идущих чисел.
Ответ: а) 15; б) нет; в) 80.
$c больше b больше a больше или = $\frac{b + c}{3}$ + 5 больше $\frac{a + c}{3}$ + 5 больше $\frac{a + b}{3}$ + 5$
То есть при выполнении условия $a больше или = $\frac{b + c}{3}$ + 5$ для наименьшего числа в тройке, аналогичные условия для остальных чисел в тройке будут выполнены автоматически.
а) По условию $a=50$ $b=60$ Тогда из неравенства $a больше или = $\frac{b + c}{3}$ + 5$ получаем
$50 больше или = $\frac{60 + c}{3}$ + 5 = сильно 150 больше или = 60 + c + 15 = сильно c меньше или = 75$
Таким образом, $60 меньше c меньше или = 75$ Значит, существует 15 удачных троек: 50, 60, 61; 50, 60, 62; ... 50, 60, 75.
б) Для чисел a, b и c справедливы неравенства
$a больше или = $\frac{b + c}{3}$ + 5 больше или = $\frac{a + 1 + a + 2}{3}$ + 5 = сильно 3a больше или = 2a + 3 + 15 = сильно a больше или = 18$
Значит, не может быть удачной тройки, одно из чисел которой = 15.
в) Если в числах расставленных по кругу любые три подряд идущих числа образуют удачную тройку, значит, каждое число, в том числе и наименьшее, входит минимум в три тройки, при условии, что чисел не меньше пяти. При любом порядке чисел наименьшее число а обязательно должно попасть в тройку с числом не меньшим чем a + 4. Тогда
$a больше или = $\frac{a + 1 + a + 4}{3}$ + 5 = сильно a больше или = 20$
Равенство достигается только в случае, если ни в одну тройку с числом 20 не попадает число большее 24. Тогда возможны только два способа расстановки чисел для троек включающих число 20:
... 23, 22, 20, 21, 24, ... или ... 22, 23, 20, 21, 24, ...
Тогда для тройки 21, 24, m должно выполняться неравенство
$21 больше или = $\frac{24 + m}{3}$ + 5 = сильно m меньше или = 24$
Все числа, удовлетворяющие этому условию, уже использованы. Значит, при использовании числа 20 по кругу можно расставить не более пяти чисел.
Если наименьшим числом является число 21, то по кругу можно расставить не более 80 чисел, равенство достигается если будут использованы все числа от 21 до 100. Приведем пример такой расстановки: по убыванию расставим все чётные числа, начиная с числа 100 и заканчивая числом 22, затем по возрастанию расставим все нечетные числа, начиная с числа 21 и заканчивая числом 99.
100, 98, 96, 94, ...26, 24, 22, 21, 23, 25, 27, ...95, 97, 99, (100).
При такой расстановке для любых трёх подряд идущих чисел наибольшее число не превышает наименьшее более чем на 4, а среднее более чем на 2. Тогда
$a больше или = $\frac{a + 2 + a + 4}{3}$ + 5 = сильно a больше или = 21$
и условие $a больше или = $\frac{b + c}{3}$ + 5$ выполнено для любых трёх подряд идущих чисел.
Ответ: а) 15; б) нет; в) 80.
Правильный ответ:
а) 15; б) нет; в) 80
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70524 • Задание №17
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
$4a в квадрате x в степени 4 плюс левая круглая скобк...
ID 68406 • Задание №14
Шар касается основания АВС правильной треугольной пирамиды SABC в точке В и ее бокового ребра SA.
а) Докажите...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...