В силу неотрицательности значений модуля данное уравнение = сильно системе:

$$$\begin{cases} $\frac{( a - 1 ) x - ( 2 a - 1 )}{x - 1}$ =0 \\[6pt] x - |1 - a| + $\frac{1}{2}$ = 0. \end{cases}$$$

Заметим, что при $a=1$ система не имеет решений, а при $a не = 1$ полученная система = сильна системе:

$$$\begin{cases} x = $\frac{2a - 1}{a - 1}$ \\[6pt] x = |1 - a| - $\frac{1}{2}$ \\[6pt] x не = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x = $\frac{2a - 1}{a - 1}$ \\[6pt] $\frac{2a - 1}{a - 1}$ = |1 - a| - $\frac{1}{2}$ \\[6pt] a не = 0. \end{cases}$$$

Далее рассмотрим два случая. Пусть $a меньше 1$ тогда второе уравнение примет вид:

$\frac{2a - 1}{a - 1} = 1 - a - $\frac{1}{2}$ = сильно 2a ^2 + a - 1=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a = - 1, a = $\frac{1}{2}$ . \end{array} \right.$

При $a = - 1$ получаем $x= $\frac{3}{2}$ больше 0$ что удовлетворяет условию задачи, а при $a = \frac{1}{2}$ получаем $x=0$ что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, значение $a = \frac{1}{2}$ постороннее. Ответ к этому случаю: $a = - 1$
Если $a больше 1$ то второе уравнение примет вид:

$\frac{2a - 1}{a - 1} = a - 1 - $\frac{1}{2}$ = сильно 2a ^2 - 9a + 5=0 = сильно a = \frac{9\pm $\sqrt{аргумента: 41}${} аргумента} 4$

Отметим, что

$\frac{9 - $\sqrt{аргумента: 41}${} аргумента} 4 меньше $\frac{9 - 6}{4}$ меньше 1$

а кроме того, $\frac{9 + $\sqrt{аргумента: 41}${} аргумента} 4 больше 1$ Заметим, что при любом $a больше 1$ выражение $\frac{2a - 1}{a - 1}$ положительно. Значит, $a = \frac{9 + $\sqrt{аргумента: 41}${} аргумента} 4$ удовлетворяет условию задачи. Отсюда получаем, что в этом случае $a = \frac{9 + $\sqrt{аргумента: 41}${} аргумента} 4$
Объединяя результаты обоих случаев, получаем ответ.

Ответ: $a принадлежит \{ - 1; \frac{9 + $\sqrt{аргумента: 41}${} аргумента} 4 \}$