а)  Если бы такое случилось, то среди этих чисел было бы 4 нечетных и 31 четное. Значит, их сумма была бы четна и не могла быть равна 1135.
б)  Возьмем наименьшие числа, кончающиеся на 7: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67. Их сумма равна 259. Возьмем наименьшие 27 четных чисел: $2 + 4 + \ldots + 54$ Их сумма равна $27 \cdot 28=756$ В качестве последнего числа возьмем $1135 - 259 - 756=120$
в)  Допустим, на доске написаны n чисел, заканчивающихся на 7 и 35 − n четных чисел. Тогда их сумма не меньше, чем сумма наименьших чисел с теми же свойствами. Значит,

$7 + 17 + \ldots + 10 ( n - 1 ) + 7 + 2 + 4 + \ldots + 2 ( 35 - n ) меньше или = 1135$

Дважды воспользовавшись формулой для суммы арифметической прогрессии, получим:

$n ( 5n + 2 ) + ( 35 - n ) ( 36 - n ) меньше или = 1135 = сильно 6n ^2 - 69n + 125 меньше или = 0$

Квадратный трехчлен в левой части полученного квадратного неравенства принимает наименьшее значение при $n= \frac{23}{4}$ и возрастает при $n больше $\frac{23}{4}$ = целая часть: 5, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4$ При n  =  9 левая часть равна −10, а при n  =  10 она равна 35, поэтому $n меньше или = 9$ Осталось придумать пример. Можно, например, взять наименьшие 9 чисел, кончающихся на 7  — это числа 7, 27, ... 87  — и наименьшие 26 четных чисел от 2 до 52. Сумма таких чисел равна 1125. Заменив 52 на 62, получим требуемую сумму.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  9.