Пусть изначально на доске были написаны n единиц и $30 - n$ других чисел. Заметим, что стирают те числа, которые исходно были единицами.
а)   Да, могло быть. Заметим, что сумма этих других чисел равна $210 - n$ получим неравенство $\frac{210 - n}{2 ( 30 - n )} больше 14$ Годится, например, $n=25$ Тогда подходят такие числа: 25 единиц и числа 35, 36, 37, 38, 39.
б)  Нет, не могло. Сумма всех чисел равна 210. Аналогично решению пункта а) получим двойное неравенство: $12 меньше $\frac{210 - n}{2 ( 30 - n )}$ меньше 13$ Домножая на знаменатель (он положителен), получим

$24 ( 30 - n ) меньше 210 - n меньше 26 ( 30 - n )$

откуда $720 - 24n меньше 210 - n$ и $780 - 26n больше 210 - n$ Значит, $510 меньше 23n$ и $570 больше 25n$ Тогда $целая часть: 22, дробная часть: числитель: 4, знаменатель: 23 меньше n меньше целая часть: 22, дробная часть: числитель: 4, знаменатель: 5$ что невозможно при целых n.
в)  Пусть M  — среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске. Тогда

$M= $\frac{210 - n}{2 ( 30 - n )}$ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{180}{2 ( 30 - n )}$ = $\frac{1}{2}$ + \frac{90}{30 - n}$

Ясно, что M максимально, если n максимально. Вспомним, что исходные числа не превосходят 40. Значит. $210 - n меньше или = 40 ( 30 - n )$ откуда $39n меньше или = 990 \Rightarrow n меньше или = 25$ Таким образом, пример из пункта а) дает максимально возможное значение среднего арифметического: $M= $\frac{210 - 25}{2 ( 30 - 25 )}$ =18,5$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  18,5.