а)  Да. Например, в первый день написано 100 единиц, а каждый следующий день пишут на две единицы меньше и на одну тройку больше, чем в предыдущий. Сумма чисел растет на 1, а их количество уменьшается на 1. Это позволяет писать числа как минимум 51 день.
б)  Да. Пусть в первый день написана 1 и десять двоек, во второй день  — пять троек и пять четверок, в третий день  — девять четверок. Тогда среднее арифметическое за первый день = $\frac{21}{11} меньше 2$ а за все дни $\frac{92}{30} больше 3$
в)  Ясно, что в первый день записано не более пяти чисел, поэтому во второй записано не более четырех, в третий  — не более трех, в четвертый  — не более двух, а пятого дня не может быть, поскольку там не более одного числа, а сумма чисел должна быть больше 5. Если дней четыре, то в четвертый день сумма не превосходит 2 · 4  =  8, а общая сумма не превосходит $5 + 6 + 7 + 8=26$ Если дней два, то сумма не превосходит $5 + 4 \cdot 4=21$ Если дней три, то сумма в последний день не более 4 · 3  =  12, поэтому общая сумма не более $5 + 11 + 12=28$ Значит, сумма не превосходит 28. Это значение достигается, если в первый день записать 1, 1, 1, 1, 1, во второй  — 2, 3, 3, 3, в третий  — 4, 4, 4.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  28.