На доске разрешается в одну строку так написать $n больше или = 3$ различных натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ чтобы для любого $k=1, 2, \ldots, ( n - 2 )$ число $a_k + 2$ равнялось либо сумме, либо разности, либо произведению, либо частному взятых в некотором порядке чисел $a_k + 1$ и ak. Например, этим правилам удовлетворяют 4 числа 3, 12, 4, 8, а также 5 чисел 8, 2, 4, 6, 24, написанные в указанном порядке.
а) Можно ли по этим правилам так написать n = 5 чисел, чтобы среди них в некотором порядке встретились четыре числа 1, 2, 3 и 4?
б) Можно ли по этим правилам так написать n = 4 нечетных числа, чтобы среди них в некотором порядке встретились три числа 3, 5 и 7?
в) Какое наименьшее значение может принимать n, если на доске в некотором порядке встречаются числа 1, 2 и 8?
а) Можно ли по этим правилам так написать n = 5 чисел, чтобы среди них в некотором порядке встретились четыре числа 1, 2, 3 и 4?
б) Можно ли по этим правилам так написать n = 4 нечетных числа, чтобы среди них в некотором порядке встретились три числа 3, 5 и 7?
в) Какое наименьшее значение может принимать n, если на доске в некотором порядке встречаются числа 1, 2 и 8?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Например, для записи 2, 3, 1, 4, 5 получаем: $1=3 - 2$ $4=3 + 1$ и $5=4 + 1$
б) Сумма и разность нечетных чисел четны, значит, разрешены только умножение и деление. Ни одно из данных чисел не делится на другое. Поэтому они не могут занимать места 1, 2, 3 или 2, 3, 4, так как ни одно из них не является произведением или частным двух других.
Если они занимают места 1, 2, 4, то на третьем месте записано произведение первых двух чисел. Оно больше последнего, значит, последнее не получается умножением. Но деление третьего на второе снова даст первое.
Если же они занимают места 1, 3, 4, то третье число является частным второго и первого, а тогда второе число — произведение первого и третьего. В этом случае четвертое не может быть ни произведением второго на третье, так как оно не кратно третьему, ни частным от деления, поскольку оно = первому.
в) Например, для записи 1, 2, 3, 5, 8 получаем: $3=2 + 1$ $5=2 + 3$ и $8=3 + 5$ Заметим предварительно, что если три числа связаны соотношением $a?b=c$ где ? — одно из арифметических действий, то можно написать и соотношения $a?c=b$ и $b?c=a$ с другим действием (возможно придется поменять местами числа в левой части. (Например, для $2 \cdot 3=6$ получаем $6:3=2. )$
Ни одно из чисел не может быть результатом действия с двумя другими, поэтому трех чисел точно не хватит. Допустим, можно обойтись четырьмя числами. Они не могут занимать места 1, 2, 3 или 2, 3, 4. Если они занимают места 1, 2, 4 или 1, 3, 4, то есть две тройки чисел, включающих неизвестное нам число. Значит, оно должно быть результатом арифметического действия с двумя парами чисел из набора 1, 2, 8. Но $1?2=1, 2, 3$ $1?8=7, 8, 9$ $8?2=4, 6, 10, 16$ — ни один ответ не повторился. Поэтому четыре числа тоже не подобрать.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
б) Сумма и разность нечетных чисел четны, значит, разрешены только умножение и деление. Ни одно из данных чисел не делится на другое. Поэтому они не могут занимать места 1, 2, 3 или 2, 3, 4, так как ни одно из них не является произведением или частным двух других.
Если они занимают места 1, 2, 4, то на третьем месте записано произведение первых двух чисел. Оно больше последнего, значит, последнее не получается умножением. Но деление третьего на второе снова даст первое.
Если же они занимают места 1, 3, 4, то третье число является частным второго и первого, а тогда второе число — произведение первого и третьего. В этом случае четвертое не может быть ни произведением второго на третье, так как оно не кратно третьему, ни частным от деления, поскольку оно = первому.
в) Например, для записи 1, 2, 3, 5, 8 получаем: $3=2 + 1$ $5=2 + 3$ и $8=3 + 5$ Заметим предварительно, что если три числа связаны соотношением $a?b=c$ где ? — одно из арифметических действий, то можно написать и соотношения $a?c=b$ и $b?c=a$ с другим действием (возможно придется поменять местами числа в левой части. (Например, для $2 \cdot 3=6$ получаем $6:3=2. )$
Ни одно из чисел не может быть результатом действия с двумя другими, поэтому трех чисел точно не хватит. Допустим, можно обойтись четырьмя числами. Они не могут занимать места 1, 2, 3 или 2, 3, 4. Если они занимают места 1, 2, 4 или 1, 3, 4, то есть две тройки чисел, включающих неизвестное нам число. Значит, оно должно быть результатом арифметического действия с двумя парами чисел из набора 1, 2, 8. Но $1?2=1, 2, 3$ $1?8=7, 8, 9$ $8?2=4, 6, 10, 16$ — ни один ответ не повторился. Поэтому четыре числа тоже не подобрать.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 5
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67433 • Задание №13
а) Решите уравнение $тангенс в квадрате x плюс левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 кон...
ID 67221 • Задание №12
Решите неравенство $\log _x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобк...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...