Пусть на лиcточке записано x чисел, больших 13, y чисел, меньших 13 и z чисел, равных 13. Тогда суммы их равны соответственно 35x, −20y (по определению среднего арифметического) и 13z. Сумма всех этих чисел равна $7 ( x + y + z )$
а)  Из уравнения $7 ( x + y + z ) = 35x - 20y + 13z$ получаем:

$5 ( x + y + z ) =33x - 22y + 11z = сильно 5 ( x + y + z ) =11 ( 3x - 2y + z )$

Следовательно, $x + y + z$ кратно 11. Есть только одно число от 100 до 115, кратное 11, это 110. Значит, $x + y + z = 110$
б)  Из предыдущего пункта получаем:

$5 \cdot 110 = 11 ( 3x - 2y + z ) = сильно 50 = 3x - 2y + z$

следовательно,

$50 = ( x + y + z ) + 2x - 3y = 110 + 2x - 3y$

откуда $2x - 3y= - 60$ то есть $y= $\frac{2}{3}$ x + 20$ Тогда

$z = 110 - x - y = 110 - x - $\frac{2}{3}$ x - 20 = 90 - $\frac{5}{3}$ x$

Если $x больше y$ то $x больше $\frac{2}{3}$ x + 20$ откуда $x больше 60$ Значит,

$z = 90 - $\frac{5}{3}$ x меньше 90 - $\frac{5}{3}$ \cdot 60 = - 10$

что невозможно.
в)  По условию $z = 90 - $\frac{5}{3}$ x больше 0$ откуда $\frac{5}{3} x меньше 90$ то есть $x меньше 54$ Кроме того, число x кратно 3, иначе $y= $\frac{2}{3}$ x + 20$   — нецелое число. Максимальное подходяще x =  51, тогда y  =  54 и z  =  5.
Такая ситуация возможна, например, для набора из 51 числа 35, 54 чисел −20 и 5 чисел 13.

Ответ: а)  110; б)  нет, не может; в)  51.