а)  Да, для чисел 25 и 26 в первой строке будут написаны числа 1, 2, 5, 13, 25, 26 во второй строке.
б)  Ясно, что числа 1, n, n + 1 будут написаны. Значит, кроме них должно быть еще ровно одно число. Если число простое, то у него два делителя. Если составное и при этом не точный квадрат, то число запишется в виде ab и даст еще два делителя a и b. Если же число точный квадрат, но не простого числа, то его тоже можно будет записать как произведение различных чисел. Поэтому одно из чисел n и n + 1 простое, а другое  — квадрат простого. Но при $n больше 4$ квадраты простых чисел будут нечетны, а два нечетных числа не могут идти подряд.
в)  Заметим, что только единица может быть общим делителем чисел n и n + 1. Это следует из того, что их разность делится на любой их общий делитель, но равна 1. Поэтому если эти числа имеют a и b делителей соответственно, на доску будет выписано $a + b - 1$ число. Значит, a и b должны иметь разную четность.
Все делители числа можно разбить на пары, дающие в произведении само число, поэтому обычно их количество четно. Исключение составляют ситуации, когда один из делителей  — пара к самому себе (а число, следовательно, его квадрат) и в такой ситуации число делителей нечетно.
Итак, подходят только те пары, где одно из чисел n и n + 1  — точный квадрат. Поскольку

$44 ^2 = 1936 меньше 1998 меньше 2000 меньше 2025 = 45 ^2$

есть 44 пары, в которых число  n является точным квадратом, и 43 пары, в которых число n + 1  — точный квадрат, $n + 1 не = 1$ Кроме того, квадраты не могут отличаться на 1, поскольку даже между соседними квадратами разность минимум $2 ^2 - 1 ^2 = 3$ Поэтому все эти пары действительно подходят.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  87.