Пусть в первый день Наташа и Маша сделали n и m фотографий соответственно, всего они делали снимки в течение k дней. Поскольку Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша, получаем: $k ( n - m ) =1001$
а)  Если $n - m=143$ то есть в первый день Наташа сделала на 143 фотографии больше, чем Маша, то $k= $\frac{1001}{143}$ =7$ Значит, Наташа могла за семь дней сделать на 1001 фотографию больше, чем Маша.
б)  Поскольку $k ( n - m ) =1001$ 1001 кратно k, но 1001 на 8 без остатка не делится. Таким образом, за восемь дней Наташа не сделала бы на 1001 фотографию больше, чем Маша.
в)  В последний день Маша сделала меньше 40 фотографий, то есть $m + k - 1 меньше 40 = сильно m + k меньше 41$ откуда $k меньше 40$ Поскольку k является делителем числа 1001 и $k меньше 40$ либо $k=13$ либо $k=11$ либо $k=7$
Поскольку количество фотографий Наташи отличается от Машиных на константу, будем максимизировать количество снимков Маши.
Если $k=7$ $m + 6 меньше 40$ откуда наибольшее возможное значение $m=33$ Найдем общее количество фотографий:

$\frac{2 \cdot 33 + 6}{2} \cdot 7=252$

Если $k=11$ $m + 10 меньше 40$ откуда наибольшее возможное значение $m=29$ Найдем общее количество фотографий:

$\frac{2 \cdot 29 + 10}{2} \cdot 11=374$

Если $k=13$ $m + 12 меньше 40$ откуда наибольшее возможное значение $m=27$ Найдем общее количество фотографий:

$\frac{2 \cdot 27 + 12}{2} \cdot 13=429$

Таким образом, наибольшее количество фотографий, сделанных Машей, = 429, а Наташей  — 429 + 1001  =  1430.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1430.