а)  Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, 4 студента писали только первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 4 студента писали только вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 15, а $S= $\frac{20 \cdot 18 + 0}{28}$ = $\frac{90}{7}$ меньше 15$
б)  Пусть а  — сумма баллов тех студентов, которые писали только одну контрольную работу, b  — сумма наибольших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы, с  — сумма наименьших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы. Заметим, что средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 15, поэтому средний балл по обеим контрольным также равен 15. Всего было написано 28 + k контрольных работ. Значит, общее количество набранных студентами баллов = $15 \cdot ( 28 + k ) =420 + 15k$ Тогда получаем: $a + b=5 \cdot 28=140,a + b + c=420 + 15k$ откуда $c=280 + 15k$ С другой стороны, $c\leqslant20k$ откуда получаем $k\geqslant56$ Значит, такая ситуация невозможна.
в)  Аналогично предыдущем пункту получаем: $a + b=S \cdot 28=28S,a + b + c=15 \cdot ( 28 + 10 ) =570$ откуда

$S= $\frac{a + b}{28}$ = $\frac{570 - c}{28}$ больше или = $\frac{570 - 10 \cdot 20}{28}$ = \frac{185}{14}$

Приведём пример, когда $S= \frac{185}{14}$ Если $b=c=200$ (то есть 10 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов за каждую), а $a=170$ (например, каждую контрольную работу писали по 9 студентов, из которых четверо получили по 10 баллов, а пятеро  — по 9 баллов), то условия задачи выполнены и $S= \frac{185}{14}$

Ответ: а)  например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов, а 4 студента писали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов; б)  нет; в)   $\frac{185}{14}$