а)  Да, например, можно посмотреть в первый день ролики длиной 15 + 14 + 1 мин., потом 13 + 12 + 5 мин., потом 11 + 10 + 9 мин., потом 8 + 7 + 6 + 4 + 3 + 2 мин.
б)  Суммарная длина всех роликов равна 1 + 2 + ... + 10  =  55 мин., что не делится на 30.
в)  Ясно, что при k ≥ 31 есть ролик длиной 31 минуту, который посмотреть нельзя. Кроме того, суммарная длина всех роликов, равная $\frac{k ( k + 1 )}{2}$ должна быть кратна 30, то есть k или k + 1 должны быть кратны 5. Переберем варианты:
k  =  4, суммарная длина 10;
k  =  5, суммарная длина 15;
k  =  9, суммарная длина 45;
k  =  10, суммарная длина 55;
k  =  14, суммарная длина 105;
k  =  15, суммарная длина 120, этот случай разобран в пункте а);
k  =  19, суммарная длина 190;
k  =  20, суммарная длина 210. Это возможно, разбивая ролики, например так:

20 + 10, 19 + 11, 18 + 12, 17 + 13, 16 + 14, 15 + 9 + 6, 8 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1;

k  =  24, суммарная длина 300, это возможно, если разбивать ролики, например, так:

24 + 6, 23 + 7, …, 16 + 14, 15 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1;

k  =  25, суммарная длина 325;
k  =  29, суммарная длина 29 · 15;
k  =  30, суммарная длина 31 · 15.
Итак, это возможно при k  =  15, 20, 24.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  k  =  15, 20, 24.