В Тридевятом царстве в обращении находятся монеты трех видов: бронзовые рубли, серебряные монеты достоинством 9 рублей и золотые монеты достоинством 81 рубль. В казне находится неограниченный запас монет каждого вида.
а) Каким наименьшим количеством монет может быть выдан вклад в 2021 рубль?
б) Можно ли выдать вклад в 1955 рублей 25 монетами?
в) Из казны, в которой содержится неограниченный запас монет каждого вида, 23 монетами выдана некоторая сумма, меньшая 700 рублей. Найдите эту сумму, если известно, что меньшим числом монет выдать ее невозможно.
а) Каким наименьшим количеством монет может быть выдан вклад в 2021 рубль?
б) Можно ли выдать вклад в 1955 рублей 25 монетами?
в) Из казны, в которой содержится неограниченный запас монет каждого вида, 23 монетами выдана некоторая сумма, меньшая 700 рублей. Найдите эту сумму, если известно, что меньшим числом монет выдать ее невозможно.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Выясним, как устроен вариант выдачи произвольной суммы наименьшим числом монет. Возьмем любой способ выдать данную сумму N. Если в нем использовано не менее 9 бронзовых рублей — заменим 9 из них на серебряную монету. Аналогично если есть хотя бы 9 серебряных монет — заменим на золотую. При этом число монет будет уменьшаться.
Пусть теперь использовано a золотых, b серебряных и c бронзовых монет, тогда $N = 81a + 9b + c$ Значит, $N - c = 81a + 9b$ кратно 9. Такое $c меньше 9$ единственно — это остаток от деления N на 9. Аналогично, поскольку $\frac{N - c}{9} = 9a + b$ можно однозначно найти b как остаток от деления $\frac{N - c}{9}$ на 9. После этого и a определится однозначно по формуле $\frac{N - c - 9b}{81}$
Итак, любой вариант может быть приведен к такому, и, значит, этот вариант оптимален.
а) Имеем: $2021 = 24 \cdot 81 + 8 \cdot 9 + 5$ поэтому требуется как минимум $24 + 8 + 5 = 37$ монет.
б) Имеем: $1955 = 24 \cdot 81 + 1 \cdot 9 + 2$ поэтому требуется как минимум $24 + 1 + 2 = 27$ монет.
в) Пусть для выплаты N рублей использовано a золотых, b серебряных и c бронзовых монет, тогда $N = 81a + 9b + c$ причем $b, c меньше или = 8$ $a + b + c = 23$ $a=23 - b - c больше или = 23 - 16=7$ Разберем варианты.
Если $a = 7$ то $b + c = 16$ и потому $b = c = 8$ $N = 7 \cdot 81 + 8 \cdot 9 + 8 = 647$
Если $a = 8$ то $b + c = 15$ и потому $b больше или = 7$ $N больше или = 8 \cdot 81 + 7 \cdot 9 = 711 больше 700$
Если $a = 9$ то $N больше или = 9 \cdot 81 = 729 больше 700$
Подходит только первый вариант.
Ответ: а) 37; б) нет; в) 647.
Пусть теперь использовано a золотых, b серебряных и c бронзовых монет, тогда $N = 81a + 9b + c$ Значит, $N - c = 81a + 9b$ кратно 9. Такое $c меньше 9$ единственно — это остаток от деления N на 9. Аналогично, поскольку $\frac{N - c}{9} = 9a + b$ можно однозначно найти b как остаток от деления $\frac{N - c}{9}$ на 9. После этого и a определится однозначно по формуле $\frac{N - c - 9b}{81}$
Итак, любой вариант может быть приведен к такому, и, значит, этот вариант оптимален.
а) Имеем: $2021 = 24 \cdot 81 + 8 \cdot 9 + 5$ поэтому требуется как минимум $24 + 8 + 5 = 37$ монет.
б) Имеем: $1955 = 24 \cdot 81 + 1 \cdot 9 + 2$ поэтому требуется как минимум $24 + 1 + 2 = 27$ монет.
в) Пусть для выплаты N рублей использовано a золотых, b серебряных и c бронзовых монет, тогда $N = 81a + 9b + c$ причем $b, c меньше или = 8$ $a + b + c = 23$ $a=23 - b - c больше или = 23 - 16=7$ Разберем варианты.
Если $a = 7$ то $b + c = 16$ и потому $b = c = 8$ $N = 7 \cdot 81 + 8 \cdot 9 + 8 = 647$
Если $a = 8$ то $b + c = 15$ и потому $b больше или = 7$ $N больше или = 8 \cdot 81 + 7 \cdot 9 = 711 больше 700$
Если $a = 9$ то $N больше или = 9 \cdot 81 = 729 больше 700$
Подходит только первый вариант.
Ответ: а) 37; б) нет; в) 647.
Правильный ответ:
а) 37; б) нет; в) 647
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71408 • Задание №19
Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовем отличной...
ID 65060 • Задание №4
У Дины в копилке лежит 7 рублёвых, 5 двухрублёвых, 6 пятирублёвых и 2 десятирублёвых монеты. Дина наугад доста...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...