а)  Рассмотрим первые десять чисел Фибоначчи (это члены последовательности, которая задается формулой: $a_1=a_2=1, a_n + 2=a_n + 1 + a_n$ ). Это числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Докажем, что набор гирек с такими весами удовлетворяет условию задачи. Ясно, что с помощью данных десяти гирек можно набрать любую массу от 1 до 55. Пусть теперь мы потеряли гирьку с номером $k$ Тогда из гирек можно набрать любую массу от 1 до

$a_1 + a_2 + \cdot s + a_k - 1= ( a_3 - a_2 ) + ( a_4 - a_3 ) + \cdot s + ( a_k + 1 - a_k ) =a_k + 1 - a_2=a_k + 1 - 1$ $a_1 + a_2 + \cdot s + a_k - 1= ( a_3 - a_2 ) + ( a_4 - a_3 ) + \cdot s + ( a_k + 1 - a_k ) =$
$=a_k + 1 - a_2=a_k + 1 - 1$ $a_1 + a_2 + \cdot s + a_k - 1=$
$= ( a_3 - a_2 ) + ( a_4 - a_3 ) + \cdot s + ( a_k + 1 - a_k ) =$
$=a_k + 1 - a_2=a_k + 1 - 1$

Добавим теперь гирю с номером $k + 1$ Тогда получится набрать любую массу от 1 до $a_k + 1 + a_k + 1 - 1 больше или = a_k + 1$ Аналогично, добавляя по гирьке, можно набрать любую массу вплоть до 55. Если же потеряна самая тяжелая гиря, то можно набрать любой вес от 1 до $a_1 + a + 2 + \cdot s + a_9 больше 55$
б)  Рассмотрим теперь немного другую последовательность: $a_1=a_2=a_3=1,a_n + 3=a_n + 2 + a_n$ Возьмем набор гирек, веса которых равны первым двенадцати членам этой последовательности: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41. Такой набор удовлетворяет условию задачи. Доказательство аналогично пункту а).