Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме последних трех его цифр. Докажите, что:
а) число всех счастливых билетов четно;
б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.
а) число всех счастливых билетов четно;
б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Каждому счастливому билету поставим в соответствие билет, номер которого состоит из цифр, дополняющих соответствующие цифры номера исходного билета до девятки. Например, билет 239601 получит в пару билет 760398. Очевидно, парой к каждому счастливому билету является также счастливый билет. При этом никакой билет не получает в пару себя (цифра не может дополнять до девятки самое себя, поскольку 9 — нечетное число). Таким образом, мы получили разбиение всех счастливых билетов на пары.
б) Рассмотрим способ разбиения билетов на пары из пункта а). Сумма номеров билетов в каждой паре равна 999999 = 999 · 1001, значит, она делится на 999. Сложив эти попарные суммы, получим число, кратное 999.
б) Рассмотрим способ разбиения билетов на пары из пункта а). Сумма номеров билетов в каждой паре равна 999999 = 999 · 1001, значит, она делится на 999. Сложив эти попарные суммы, получим число, кратное 999.
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70435 • Задание №17
Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$x минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 ...
ID 64272 • Задание №1
[рис.] В треугольнике ABC $AC = BC = 4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента$ $синус BAC = 0,25$ Най...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
— обоснованное решение в п. а;
— пример в п. б;
— искомая оценка в п. в;
— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
— обоснованное решение в п. а;
— пример в п. б;
— искомая оценка в п. в;
— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...