В шахматном турнире участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них — из России. Каждый шахматист сыграл по одной партии с каждым. За победу в партии шахматист получал 1 очко, за ничью — 0,5 очка, в случае проигрыша — 0 очков.
а) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 14 очков?
б) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 100 очков?
в) Известно, что первое место занял шахматист из России, а второе место — шахматист
из другой страны. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты?
а) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 14 очков?
б) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 100 очков?
в) Известно, что первое место занял шахматист из России, а второе место — шахматист
из другой страны. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Шахматисты из России сыграли между собой 15 партий, в которых было разыграно 15 очков. Поэтому сумма не может быть меньше 15.
б) Даже если шахматисты из России выиграли у всех остальных, это дает лишь $6 \cdot 14 + 15=99$ очков, поэтому $100$ очков быть не может.
в) Назовем Васей победителя турнира, а Джоном — шахматиста, занявшего второе место. Если Джон выиграл у прочих иностранцев и сыграл вничью со всеми россиянами, Вася выиграл у всех, кроме Джона, прочие россияне между собой играли вничью, как и прочие иностранцы, а в остальных партиях россияне всегда побеждали, то у Васи будет $18,5$ очков, у Джона $16$ у прочих россиян по $15,5$ а у прочих иностранцев по $6,5$ Все условия выполнены, а у россиян $96$ очков.
Докажем, что больше быть не может. Если россияне потеряли в партиях с иностранцами менее трех очков, то Джон имеет не более $13 + 2,5=15,5$ очков, тогда остальные россияне — максимум по $15$ и их общее число очков не превосходит $19 + 5 \cdot 15=94$ Противоречие.
Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 96.
б) Даже если шахматисты из России выиграли у всех остальных, это дает лишь $6 \cdot 14 + 15=99$ очков, поэтому $100$ очков быть не может.
в) Назовем Васей победителя турнира, а Джоном — шахматиста, занявшего второе место. Если Джон выиграл у прочих иностранцев и сыграл вничью со всеми россиянами, Вася выиграл у всех, кроме Джона, прочие россияне между собой играли вничью, как и прочие иностранцы, а в остальных партиях россияне всегда побеждали, то у Васи будет $18,5$ очков, у Джона $16$ у прочих россиян по $15,5$ а у прочих иностранцев по $6,5$ Все условия выполнены, а у россиян $96$ очков.
Докажем, что больше быть не может. Если россияне потеряли в партиях с иностранцами менее трех очков, то Джон имеет не более $13 + 2,5=15,5$ очков, тогда остальные россияне — максимум по $15$ и их общее число очков не превосходит $19 + 5 \cdot 15=94$ Противоречие.
Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 96.
Правильный ответ:
а) Нет; б) Нет; в) 96
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70182 • Задание №17
Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной D в точке E и пересекает вторую сторону в точках A...
ID 66307 • Задание №8
а) Решите уравнение $тангенс x умножить на левая круглая скобка косинус в квадрате x минус косинус x правая к...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...