На плоскости даны 8 отрезков. Длина каждого отрезка является натуральным числом, не превосходящим 20. Пусть n – число различных треугольников, которые можно составить из этих отрезков. Один и тот же отрезок может использоваться для разных треугольников, но не может использоваться дважды для одного треугольника.
а) Может ли n = 60?
б) Может ли n = 55?
в) Найдите наименьшее возможное значение n, если среди данных отрезков нет трех равных.
а) Может ли n = 60?
б) Может ли n = 55?
в) Найдите наименьшее возможное значение n, если среди данных отрезков нет трех равных.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Ясно, что количество треугольников не может быть больше числа сочетаний из восьми по три, а $C ^3 _8=56$
б) Пусть длины отрезков такие: 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 6. Тогда возможно ровно 55 треугольников (из 56 возможных сочетаний не годится только одно: 6, 14, 20. Для всех остальных неравенство треугольника выполнено).
в) Докажем, что $n=0$ не годится. Пусть длины отрезков равны $a больше или = b больше или = c больше или = d больше или = e больше или = f больше или = g больше или = h$ Если ни одного треугольника составить нельзя, то $a больше или = b + c$ Аналогично, $b больше или = c + d$ значит, $a больше или = 2c + d$ Тогда $2c больше или = 2d + 2e$ значит, $a больше или = 3d + 2e$ Продолжая цепочку, получим: $a больше или = 13g + 8h$ Значит, $а$ не меньше 21. Противоречие.
Приведем пример с $n=1$ Используя предыдущее рассуждение получаем такой набор:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 20. Единственный возможный треугольник — это 8, 13, 20.
Ответ: а) Нет; б) Да; в) 1.
б) Пусть длины отрезков такие: 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 6. Тогда возможно ровно 55 треугольников (из 56 возможных сочетаний не годится только одно: 6, 14, 20. Для всех остальных неравенство треугольника выполнено).
в) Докажем, что $n=0$ не годится. Пусть длины отрезков равны $a больше или = b больше или = c больше или = d больше или = e больше или = f больше или = g больше или = h$ Если ни одного треугольника составить нельзя, то $a больше или = b + c$ Аналогично, $b больше или = c + d$ значит, $a больше или = 2c + d$ Тогда $2c больше или = 2d + 2e$ значит, $a больше или = 3d + 2e$ Продолжая цепочку, получим: $a больше или = 13g + 8h$ Значит, $а$ не меньше 21. Противоречие.
Приведем пример с $n=1$ Используя предыдущее рассуждение получаем такой набор:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 20. Единственный возможный треугольник — это 8, 13, 20.
Ответ: а) Нет; б) Да; в) 1.
Правильный ответ:
а) Нет; б) Да; в) 1
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66975 • Задание №11
Решите систему неравенств
$система выражений новая строка 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате права...
ID 66282 • Задание №8
Дано уравнение $18 в степени x минус 9 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...