а)  Ясно, что после четного числа прыжков, лягушка может находиться только в вершинах A, C или E. Обозначим через $a_k, c_k, e_k$ число путей длины $2k$ ведущих из A в A, C и E соответственно. В силу симметрии $c_k = e_k$ Легко видеть, что выполняются равенства $c_k + 1 = a_k + 3c_k$ (можно за два шага перейти из A в C, или за два шага перейти из Е, или сходить С-B-C или С-D-C), $a_k + 1 = 2a_k + 2c_k$ (аналогично). Отсюда $c_k + 2 = a_k + 1 + 3c_k + 1 = 2a_k + 2c_k + 3c_k + 1 = 2 ( c_k + 1 – 3c_k ) + 2c_k + 3c_k + 1 = 5c_k + 1 – 4c_k$ Из начальных условий $c_0 = 0$ $c_1 = 1$ По индукции легко показать, что $c_k= \frac{4 в степени k - 1}{3}$

б)  Сохраним обозначение ck из пункта а). Обозначим через bk число путей длины $2k – 1$ ведущих из A в B. Тогда $b_k + 1 = 3b_k$ (за два прыжка можно двумя способами вернуться из B в B и одним способом попасть из B в F). Но $c_k = b_k$ значит, $c_k + 1 = 3c_k$ при $k больше 0$
По-прежнему, $c_1 = 1$ следовательно, $c_k = 3 в степени ( k–1 )$

Ответ: а) $\frac{2 в степени ( n ) - 1}{3}$ (n обязательно четное); б) $3 в степени ( $\frac{n}{2}$ - 1 )$ (n обязательно четное).