Найдем производную заданной функции:

$y'= ( x ^2 - 8x + 8 ) ' \cdot e в степени ( 6 - x ) + ( x ^2 - 8x + 8 ) \cdot ( e в степени ( 6 - x ) ) }'=$
$= ( 2x - 8 ) \cdot e в степени ( 6 - x ) + ( x ^2 - 8x + 8 ) \cdot e в степени ( 6 - x ) \cdot ( - 1 ) = - ( x ^2 - 10x + 16 ) e в степени ( 6 - x )$

Найдем нули производной:

$( x ^2 - 10x + 16 ) e в степени ( 6 - x ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=2, x=8. \end{array} \right.$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
[рис.]
Искомая точка минимума $x=2$

Ответ: 2.