[рис.] Изобразим первое уравнение на плоскости:

$\left[ \begin{array}{l} x - y + 2=0, $$\begin{cases} x ^2 - 6x - y + 2 = 0 \\[6pt] x - y + 2 больше или = 0 . \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Система задает часть параболы $y = x ^2 - 6x + 2$ расположенную не выше прямой $y = x + 2$ Найдем абсциссу вершины параболы: $x_в = - $\frac{ - 6}{2 \cdot 1}$ = 3$ тогда $y_в = - 7$
Найдем точки пересечения функций $y = x ^2 - 6x + 2$ и $y = x + 2:$

$x ^2 - 6x + 2 = x + 2 = сильно x ^2 - 7x = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 0,x = 7. \end{array} \right.$

Таким образом, абсциссы точек пересечения функций равны 0 и 7, следовательно, ординаты точек пересечения равны y(0)  =  2 и y(7)  =  9.
Прямая $y = 4x + a$ имеет всегда одну общую точку с прямой $y = x + 2$ так как не параллельна ей, следовательно, система будет иметь два различных решения в двух случаях:
1)  если прямая $y = 4x + a$ будет являться касательной к параболе $y = x ^2 - 6x + 2$ и точка касания будет лежать ниже прямой $y = x + 2$
2)  если прямая $y = 4x + a$ будет иметь две общие точки с параболой $y = x ^2 - 6x + 2$ одна из которых будет лежать ниже прямой $y = x + 2$ а вторая не ниже этой прямой (то есть вторая точка либо совпадает с точкой пересечения прямых $y = 4x + a$ и $y = x + 2$ либо лежит выше прямой $y = x + 2$ ).
Рассмотрим первый случай. Найдем значение a, при котором уравнение $x ^2 - 6x + 2 = 4x + a$ имеет одно решение. Выполним преобразования:

$x ^2 - 6x + 2 = 4x + a = сильно x ^2 - 10x + 2 - a=0$

Квадратное уравнение имеет единственное решение тогда, когда его дискриминант равен нулю. Имеем:

$D = 0 = сильно 100 - 8 + 4a = 0 = сильно a = - 23$

При a  =  −23 уравнение $x ^2 - 10x + 2 - a=0$ имеет единственное решение, x  =  5. Проверим, что при x  =  5 точка касания лежит не ниже прямой $y = x + 2:$

$5 ^2 - 6 \cdot 5 + 2 меньше 5 + 2 = сильно - 3 меньше 7$
Следовательно, точка касания лежит в нужной полуплоскости  — значение параметра a  =  −23 подходит.
Рассмотрим второй случай. Если прямая $y = 4x + a$ проходит ниже точки (7; 9), но выше точки (5; −3), то обе точки пересечения с параболой будут лежать ниже прямой $y = x + 2$ а значит будет еще три различных решения.
Если прямая $y = 4x + a$ проходит через точку (0; 2) или выше, то обе точки пересечения с параболой будут лежать не ниже прямой $y = x + 2$ а значит, всего будет одно решение. Следовательно, прямая $y = 4x + a$ должна проходить ниже точки (0; 2) и не ниже точки (7; 9):

$$$\begin{cases} 4 \cdot 0 + a меньше 2 \\[6pt] 28 + a больше или = 9 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a меньше 2 \\[6pt] a больше или = - 19. \end{cases}$$$

Ответ: $a принадлежит \{ - 23 \} \cup [ - 19; 2 )$

Приведем другое решение.
Определим, при каких a уравнение $( x ^2 - 6x - 4x + 2 - a ) $\sqrt{аргумента: x - 4x + 2 - a}$ аргумента = 0$ имеет 2 различных решения. Имеем:

$\left[ \begin{array}{l} x = $\frac{2 - a}{3}$ , $$\begin{cases} x меньше $\frac{2 - a}{3}$ \\[6pt] x ^2 - 10x + 2 - a = 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{2 - a}{3}$ , $$\begin{cases} x меньше $\frac{2 - a}{3}$ \\[6pt] x = 5 \pm $\sqrt{аргумента: 23 + a}$ аргумента . \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Рассмотрим первый случай:

$5 + $\sqrt{аргумента: 23 + a}$ аргумента = 5 - $\sqrt{аргумента: 23 + a}$ аргумента меньше \frac{2 - a}{3}$

отсюда a  =  −23, $5 меньше \frac{25}{3}$   — верно.
Рассмотрим второй случай:

$$$\begin{cases} 5 - $\sqrt{аргумента: 23 + a}$ аргумента меньше $\frac{2 - a}{3}$ \\[6pt] 5 + $\sqrt{аргумента: 23 + a}$ аргумента больше или = $\frac{2 - a}{3}$ . \end{cases}$$$

Пусть $\sqrt{аргумента: 23 + a} аргумента = t$ тогда $a = t ^2 - 23$ Имеем:

$$$\begin{cases} 15 - 3t меньше 2 - t ^2 + 23 \\[6pt] 15 + 3t больше или = 2 - t ^2 + 23 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} t ^2 - 3t - 10 меньше 0 \\[6pt] t ^2 + 3t - 10 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} t принадлежит ( - 2 \\[6pt] 5 ) \\[6pt] t принадлежит ( - бесконечность \\[6pt] - 5 ] \cup [ 2 \\[6pt] + бесконечность ) . \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 15 - 3t меньше 2 - t ^2 + 23 \\[6pt] 15 + 3t больше или = 2 - t ^2 + 23 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} t ^2 - 3t - 10 меньше 0 \\[6pt] t ^2 + 3t - 10 больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} t принадлежит ( - 2 \\[6pt] 5 ) \\[6pt] t принадлежит ( - бесконечность \\[6pt] - 5 ] \cup [ 2 \\[6pt] + бесконечность ) . \end{cases}$$$

Так как $t принадлежит [ 2; 5 )$ получаем:

$2 меньше или = $\sqrt{аргумента: 23 + a}$ аргумента меньше 5 = сильно 4 меньше или = 23 + a меньше 25 = сильно - 19 меньше или = a меньше 2$