В каждой клетке таблицы размером $3\times3$ записаны числа от 1 до 9 (см рис.). За один ход разрешается к двум соседним числам (клетки имеют общую сторону) прибавить одно и то же целое число.
4 | 5 | 6
9 | 8 | 7
1 | 2 | 3
а) Можно ли таким образом получить таблицу, во всех клетках которой будут одинаковые числа?
б) Можно ли таким образом получить таблицу, составленную из одной единицы в центре и восьми нулей?
в) После нескольких ходов в таблице оказались восемь нулей и какое‐то число N, отличное от нуля. Найдите все возможные N
4 | 5 | 6
9 | 8 | 7
1 | 2 | 3
а) Можно ли таким образом получить таблицу, во всех клетках которой будут одинаковые числа?
б) Можно ли таким образом получить таблицу, составленную из одной единицы в центре и восьми нулей?
в) После нескольких ходов в таблице оказались восемь нулей и какое‐то число N, отличное от нуля. Найдите все возможные N
💡 Пошаговый разбор и решение:
Сумма чисел в угловых клетках и в центральной равна 22, а в остальных равна 23. Каждое прибавление добавляет к этим суммам равную величину, поэтому их разность всегда равна −1. Допустим в итоге получились одинаковые числа x. Тогда $5x - 4x= - 1$ откуда $x= - 1$ Осталось это реализовать:
$\beginpmatrix 456 987 123 \endpmatrix\Rightarrow \beginpmatrix - 106 - 1 - 27 - 103 \endpmatrix\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 15 - 1 - 18 - 1 - 12 \endpmatrix\Rightarrow$
$\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 1 - 1 - 1 - 12 - 1 - 12 \endpmatrix\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 \endpmatrix$ $\beginpmatrix 456 987 123 \endpmatrix\Rightarrow \beginpmatrix - 106 - 1 - 27 - 103 \endpmatrix\Rightarrow$
$\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 15 - 1 - 18 - 1 - 12 \endpmatrix\Rightarrow$
$\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 1 - 1 - 1 - 12 - 1 - 12 \endpmatrix\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 \endpmatrix$
б) Нет, поскольку разность между суммами угловых с центральной и остальных клеток всегда равна −1, а на приведенной картинке она равна 1.
в) Аналогично предыдущему пункту получаем, что последнее число должно быть = 1 или −1. Оба примера легко реализуются: можно взять квадрат, заполненный числами −1 (см. пункт а), а потом прибавить по единице ко всем восьми клеткам, кроме центральной (на это понадобится четыре действия). А если потом еще прибавить 1 к центральной клетке и клетке на стороне, то будет пример для единицы.
Ответ: а) да; б) нет; в) $ - 1; 1$
$\beginpmatrix 456 987 123 \endpmatrix\Rightarrow \beginpmatrix - 106 - 1 - 27 - 103 \endpmatrix\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 15 - 1 - 18 - 1 - 12 \endpmatrix\Rightarrow$
$\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 1 - 1 - 1 - 12 - 1 - 12 \endpmatrix\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 \endpmatrix$ $\beginpmatrix 456 987 123 \endpmatrix\Rightarrow \beginpmatrix - 106 - 1 - 27 - 103 \endpmatrix\Rightarrow$
$\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 15 - 1 - 18 - 1 - 12 \endpmatrix\Rightarrow$
$\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 1 - 1 - 1 - 12 - 1 - 12 \endpmatrix\Rightarrow \beginpmatrix - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 \endpmatrix$
б) Нет, поскольку разность между суммами угловых с центральной и остальных клеток всегда равна −1, а на приведенной картинке она равна 1.
в) Аналогично предыдущему пункту получаем, что последнее число должно быть = 1 или −1. Оба примера легко реализуются: можно взять квадрат, заполненный числами −1 (см. пункт а), а потом прибавить по единице ко всем восьми клеткам, кроме центральной (на это понадобится четыре действия). А если потом еще прибавить 1 к центральной клетке и клетке на стороне, то будет пример для единицы.
Ответ: а) да; б) нет; в) $ - 1; 1$
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) $минус 1; 1$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71404 • Задание №19
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Явл...
ID 70571 • Задание №17
Для каждого допустимого значения a решите неравенство
$логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...