Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел в А = q и никакие два числа в множестве А не являются взаимно простыми. Найдите все числа множества А, если:
а) q = 210, произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа.
б) q = 390, произведение всех чисел из А не делится на 160 и не является четвертой степенью никакого целого числа.
в) q = 330, произведение всех чисел из А не является четвертой степенью никакого целого числа, а сумма всех чисел из А равна 755.
а) q = 210, произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа.
б) q = 390, произведение всех чисел из А не делится на 160 и не является четвертой степенью никакого целого числа.
в) q = 330, произведение всех чисел из А не является четвертой степенью никакого целого числа, а сумма всех чисел из А равна 755.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Ясно, что все числа являются делителями q.
а) Делители числа 210 — суть произведения каких-то чисел из набора 2, 3, 5, 7. Они все разбиваются на пары, дающие в произведении 210, причем числа из одной пары взаимно просты, поэтому их оба взять нельзя. Этих пар 8, поэтому нужно взять по числу из каждой пары. Поскольку произведение делится на $1920=2 в степени 7 \cdot 3 \cdot 5$ то минимум из 7 пар придется взять четное число. Либо одно из выбранных будет 2 — тогда все остальные тоже обязаны быть четными во избежание взаимной простоты с двойкой, а их произведение будет квадратом (оно = $2 в степени 8 \cdot 3 в степени 4 \cdot 5 в степени 4 \cdot 7 в степени 4$ ), либо 2 не выбрано — тогда вместо него выбрано 105. Нетрудно видеть, что вариант «все четные, кроме двойки, и еще 105» удовлетворяет всем условиям.
б) Аналогично $390=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$ поэтому все делители разбиваются на пары, причем числа в каждой паре взаимно просты, из каждой пары нужно взять ровно одно число. Если не взять ни одного числа, кратного 5, то придется взять единицу, что невозможно. Значит, произведение не кратно 160 лишь потому, что не кратно 32. Если взять 3, то все прочие числа будут кратны 3, и их произведение составит $3 в степени 8 \cdot 2 в степени 4 \cdot 5 в степени 4 \cdot 13 в степени 4$ и будет четвертой степенью. Аналогично нельзя взять 5, 13 и еще 1. Итак, уже точно взяты их пары, то есть 130, 78, 30, 390, поэтому больше четных чисел брать нельзя (иначе произведение поделится на 32). Значит, из остальных пар взяты нечетные числа. Этот вариант подходит.
в) Аналогично — перечисляя делители и разбивая их на пары — находим, что делители 1, 2, 3, 5, 11 брать нельзя, поэтому точно взяты парные к ним — $330 + 165 + 110 + 66 + 30=701$ значит, нужно набрать еще сумму 54, взяв по числу из пар $( 15,22 ) , ( 10,33 ) , ( 6,55 )$ Из последней, очевидно, надо взять 6, после чего переборов вариантов в первых двух определяем полный список чисел.
Ответ: а) 105, 6, 10, 14, 30, 42, 70, 210; б) 130, 78, 30, 390, 15, 39, 65, 195; в) 330, 165, 110, 66, 30, 6, 15, 33.
а) Делители числа 210 — суть произведения каких-то чисел из набора 2, 3, 5, 7. Они все разбиваются на пары, дающие в произведении 210, причем числа из одной пары взаимно просты, поэтому их оба взять нельзя. Этих пар 8, поэтому нужно взять по числу из каждой пары. Поскольку произведение делится на $1920=2 в степени 7 \cdot 3 \cdot 5$ то минимум из 7 пар придется взять четное число. Либо одно из выбранных будет 2 — тогда все остальные тоже обязаны быть четными во избежание взаимной простоты с двойкой, а их произведение будет квадратом (оно = $2 в степени 8 \cdot 3 в степени 4 \cdot 5 в степени 4 \cdot 7 в степени 4$ ), либо 2 не выбрано — тогда вместо него выбрано 105. Нетрудно видеть, что вариант «все четные, кроме двойки, и еще 105» удовлетворяет всем условиям.
б) Аналогично $390=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$ поэтому все делители разбиваются на пары, причем числа в каждой паре взаимно просты, из каждой пары нужно взять ровно одно число. Если не взять ни одного числа, кратного 5, то придется взять единицу, что невозможно. Значит, произведение не кратно 160 лишь потому, что не кратно 32. Если взять 3, то все прочие числа будут кратны 3, и их произведение составит $3 в степени 8 \cdot 2 в степени 4 \cdot 5 в степени 4 \cdot 13 в степени 4$ и будет четвертой степенью. Аналогично нельзя взять 5, 13 и еще 1. Итак, уже точно взяты их пары, то есть 130, 78, 30, 390, поэтому больше четных чисел брать нельзя (иначе произведение поделится на 32). Значит, из остальных пар взяты нечетные числа. Этот вариант подходит.
в) Аналогично — перечисляя делители и разбивая их на пары — находим, что делители 1, 2, 3, 5, 11 брать нельзя, поэтому точно взяты парные к ним — $330 + 165 + 110 + 66 + 30=701$ значит, нужно набрать еще сумму 54, взяв по числу из пар $( 15,22 ) , ( 10,33 ) , ( 6,55 )$ Из последней, очевидно, надо взять 6, после чего переборов вариантов в первых двух определяем полный список чисел.
Ответ: а) 105, 6, 10, 14, 30, 42, 70, 210; б) 130, 78, 30, 390, 15, 39, 65, 195; в) 330, 165, 110, 66, 30, 6, 15, 33.
Правильный ответ:
а) 105, 6, 10, 14, 30, 42, 70, 210; б) 130, 78, 30, 390, 15, 39, 65, 195; в) 330, 165, 110, 66, 30, 6, 15, 33
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71620 • Задание №19
На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.
а) Может ли быть записано число 250?
б) Мож...
ID 68856 • Задание №15
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус \tfracx в квадрате правая круглая скоб...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2
Верно получен один из следующий результатов:
— обоснованное решение пункта а;
— обоснованное решение пункта б;
— оценка в пункте в;
— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2
Верно получен один из следующий результатов:
— обоснованное решение пункта а;
— обоснованное решение пункта б;
— оценка в пункте в;
— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...