Заданы три бесконечных целочисленных возрастающих арифметических прогрессий, разность которых 3, 5 и 7, каждая из которых содержит хотя бы одно отрицательное число. Натуральное число «n» назовем хорошим, если оно принадлежит всем прогрессиям.
а) Доказать, что существует хотя бы одно хорошее число.
б) Можно ли утверждать, что для любых прогрессий существует хорошее число на отрезке [100; 200]?
в) Можно ли утверждать, что для любых прогрессий существует хорошее число на отрезке [200; 400]?
а) Доказать, что существует хотя бы одно хорошее число.
б) Можно ли утверждать, что для любых прогрессий существует хорошее число на отрезке [100; 200]?
в) Можно ли утверждать, что для любых прогрессий существует хорошее число на отрезке [200; 400]?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Эта задача представляет собой частный случай китайской теоремы об остатках. В каждой прогрессии числа дают один и тот же остаток от деления на $3$ $5$ или $7$ И все числа с данным остатком лежат в этой прогрессии (она начинается с отрицательных чисел, поэтому не может пропустить первые несколько. Рассмотрим остатки от деления числа на $105$ Ясно, что зная этот остаток, можно узнать остатки от деления на $3$ $5$ и $7$
Докажем, что двум разным остаткам не может соответствовать одинаковый набор остатков от деления на 3, 5, 7. В самом деле, если это так — вычтем такие числа друг из друга. Полученное число кратно 3, 5, 7, а Значит, кратно и $105$ Поэтому исходные остатки от деления на $105$ тоже были одинаковы.
Всего есть $105$ остатков от деления на $105$ И есть $3 \cdot 5 \cdot 7$ наборов остатков от деления на 3, 5, 7 — при делении на каждое k есть k возможных остатков. Как мы знаем, каждому остатку от деления на $105$ соответствует свой набор остатков от деления на 3, 5, 7. Поскольку этих наборов как раз $105$ и повторений нет — каждый набор чему-то соответствует.
а) Возьмем число с таким остатком от деления на $105$ которому соответствует наш набор. Это число будет во всех прогрессиях.
б) Нет. Потребуем, чтобы число давало от деления на 3, 5, 7 остатки, соответственно, 0, 4, 1. Этот набор соответствует числу $99$ поэтому подходящими числами будут $99,204,\ldots$
в) Да, среди $201$ натурального числа подряд обязательно встретятся все $105$ остатков от деления на $105$
Ответ: б) Нет; в) Да.
Докажем, что двум разным остаткам не может соответствовать одинаковый набор остатков от деления на 3, 5, 7. В самом деле, если это так — вычтем такие числа друг из друга. Полученное число кратно 3, 5, 7, а Значит, кратно и $105$ Поэтому исходные остатки от деления на $105$ тоже были одинаковы.
Всего есть $105$ остатков от деления на $105$ И есть $3 \cdot 5 \cdot 7$ наборов остатков от деления на 3, 5, 7 — при делении на каждое k есть k возможных остатков. Как мы знаем, каждому остатку от деления на $105$ соответствует свой набор остатков от деления на 3, 5, 7. Поскольку этих наборов как раз $105$ и повторений нет — каждый набор чему-то соответствует.
а) Возьмем число с таким остатком от деления на $105$ которому соответствует наш набор. Это число будет во всех прогрессиях.
б) Нет. Потребуем, чтобы число давало от деления на 3, 5, 7 остатки, соответственно, 0, 4, 1. Этот набор соответствует числу $99$ поэтому подходящими числами будут $99,204,\ldots$
в) Да, среди $201$ натурального числа подряд обязательно встретятся все $105$ остатков от деления на $105$
Ответ: б) Нет; в) Да.
Правильный ответ:
б) Нет; в) Да
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65113 • Задание №4
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.
[рис.]...
ID 68923 • Задание №15
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,25 правая круглая скобка левая круглая скобк...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...