Назовем квадратное уравнение $ax ^2 + bx + c = 0$ с натуральными коэффициентами a ,b и c «простым», если a ,b и c не имеют кроме 1, других общих делителей.
а) Найти все значения b , для которых «простое» уравнение $5x ^2 + bx + 3 = 0$ имеет хотя бы одно целое решение,
б) Докажите, что «простое» уравнение $3x ^2 + bx + c = 0$ не имеет целых решений, если b кратно 3,
в) Докажите, что если $b больше или = 4$ и не кратно 3, найдется такое «с», что простое уравнение $3x ^2 + bx + c = 0$ имеет целое решение.
а) Найти все значения b , для которых «простое» уравнение $5x ^2 + bx + 3 = 0$ имеет хотя бы одно целое решение,
б) Докажите, что «простое» уравнение $3x ^2 + bx + c = 0$ не имеет целых решений, если b кратно 3,
в) Докажите, что если $b больше или = 4$ и не кратно 3, найдется такое «с», что простое уравнение $3x ^2 + bx + c = 0$ имеет целое решение.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Для того, чтобы у квадратного уравнения с целыми коэффициентами был целый (и даже просто рациональный) корень, необходимо (но недостаточно для целого), чтобы дискриминант был квадратом целого числа.
а) Имеем $D=b ^2 - 60=t ^2$ тогда $( b - t ) ( b + t ) =60$ Ясно что $b - t$ и $b + t$ — либо оба нечетны, либо оба четны (их сумма $2b$ четна). Далее, можно считать, что $t больше или = 0$ и $b больше 0$ по условию. Значит, они $b + t$ и $b - t$ оба четны, причем первое число больше. Остаются варианты $60=10 \cdot 6=30 \cdot 2$
В первом случае $b=8$ $t=2$ уравнение $5x ^2 + 8x + 3=0$ имеет корень $ - 1$
Во втором случае $b=16$ $t=14$ уравнение $5x ^2 + 16x + 3=0$ имеет корень $ - 3$
б) $D=b ^2 - 12c$ кратно $3$ поскольку b и $12$ кратны $3$ Но не кратно $9$ поскольку $b ^2$ кратно $9$ а c не кратно $3$ (иначе уравнение сокращалось бы на $3$ ). Но квадрат не может делиться на $3$ и не делиться на $9$
в) Возьмем в качестве c число $b - 3$ Оно не кратно $3$ поскольку b не кратно $3$ Тогда уравнение $3x ^2 + bx + ( b - 3 ) =0$ будет простым и будет иметь корень $x= - 1$
Ответ: а) 8, 16.
а) Имеем $D=b ^2 - 60=t ^2$ тогда $( b - t ) ( b + t ) =60$ Ясно что $b - t$ и $b + t$ — либо оба нечетны, либо оба четны (их сумма $2b$ четна). Далее, можно считать, что $t больше или = 0$ и $b больше 0$ по условию. Значит, они $b + t$ и $b - t$ оба четны, причем первое число больше. Остаются варианты $60=10 \cdot 6=30 \cdot 2$
В первом случае $b=8$ $t=2$ уравнение $5x ^2 + 8x + 3=0$ имеет корень $ - 1$
Во втором случае $b=16$ $t=14$ уравнение $5x ^2 + 16x + 3=0$ имеет корень $ - 3$
б) $D=b ^2 - 12c$ кратно $3$ поскольку b и $12$ кратны $3$ Но не кратно $9$ поскольку $b ^2$ кратно $9$ а c не кратно $3$ (иначе уравнение сокращалось бы на $3$ ). Но квадрат не может делиться на $3$ и не делиться на $9$
в) Возьмем в качестве c число $b - 3$ Оно не кратно $3$ поскольку b не кратно $3$ Тогда уравнение $3x ^2 + bx + ( b - 3 ) =0$ будет простым и будет иметь корень $x= - 1$
Ответ: а) 8, 16.
Правильный ответ:
а) 8, 16
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68086 • Задание №14
В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят...
ID 66884 • Задание №11
[рис.] На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...