а) Приведите пример такого двухзначного числа A, что последние цифры числа $A ^2$ составляют число А.
б) Может ли такое двухзначное число А заканчиваться на 1?
в) Найдите все такие трёхзначные числа A, что последние три цифры числа $A ^2$ составляют число А.
б) Может ли такое двухзначное число А заканчиваться на 1?
в) Найдите все такие трёхзначные числа A, что последние три цифры числа $A ^2$ составляют число А.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Например $25 ^2 =625$
б) Если это число заканчивается на 1, то его можно записать в виде $10x + 1$ Тогда
$( 10x + 1 ) ^2 - ( 10x + 1 ) =100x ^2 + 10x$
не может делиться на 100, если только $x не = 0$ Поэтому таких чисел нет.
в) Пусть это число x. Тогда $x ^2 - x=x ( x - 1 )$ должно делиться на 1000. Значит, один из множителей кратен 125 (а другой вообще не делится на 5 — они отличаются на 1), а другой кратен 8 (это не может быть тот же множитель, поскольку тогда он кратен 1000 и x — не трехзначное. Значит, тот множитель, который кратен 125 — нечетен). Итак, x или $x - 1$ = 125, 375, 625, 875. Перебор показывает, что подходят $x=376$ и $x=625$
Ответ: а) 25; б) нет; в) 625, 376.
б) Если это число заканчивается на 1, то его можно записать в виде $10x + 1$ Тогда
$( 10x + 1 ) ^2 - ( 10x + 1 ) =100x ^2 + 10x$
не может делиться на 100, если только $x не = 0$ Поэтому таких чисел нет.
в) Пусть это число x. Тогда $x ^2 - x=x ( x - 1 )$ должно делиться на 1000. Значит, один из множителей кратен 125 (а другой вообще не делится на 5 — они отличаются на 1), а другой кратен 8 (это не может быть тот же множитель, поскольку тогда он кратен 1000 и x — не трехзначное. Значит, тот множитель, который кратен 125 — нечетен). Итак, x или $x - 1$ = 125, 375, 625, 875. Перебор показывает, что подходят $x=376$ и $x=625$
Ответ: а) 25; б) нет; в) 625, 376.
Правильный ответ:
а) 25; б) нет; в) 625, 376
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67514 • Задание №13
а) Решите уравнение $2 косинус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец ...
ID 66332 • Задание №9
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главны...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2
Верно получен один из следующий результатов:
— обоснованное решение пункта а;
— обоснованное решение пункта б;
— оценка в пункте в;
— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2
Верно получен один из следующий результатов:
— обоснованное решение пункта а;
— обоснованное решение пункта б;
— оценка в пункте в;
— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...