Один моль одноатомного идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 2 таким образом, что в ходе процесса давление газа возрастает прямо пропорционально его объему. В результате плотность газа уменьшается в $альфа =2$ раза. Газ в ходе процесса получает количество теплоты Q = 20 кДж. Какова температура газа в состоянии 1?
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] 1. Изобразим процесс на pV-диаграмме и обозначим давления и объемы газа в состояниях 1 и 2 через (p1, V1) и (p2, V2) соответственно. Температуру газа в состоянии 1 обозначим через T1, а в состоянии 2 — через T2.
2. Из первого закона термодинамики следует, что полученное газом количество теплоты идет на увеличение внутренней энергии газа и на совершение им работы: $Q=\Delta U + A$
3. Используем термодинамическую модель одноатомного идеального газа:
$$$\begin{cases} pV= \nu RT \\[6pt] U= $\frac{3}{2}$ \nu RT. \end{cases}$$$
Изменение его внутренней энергии = $\Delta U= $\frac{3}{2}$ \nu R ( T_2 - T_1 ) = $\frac{3}{2}$ ( p_2V_2 - p_1V_1 )$
4. Совершенная газом работа численно равна площади трапеции под графиком процесса на pV-диаграмме, то есть разности площадей треугольников:
$A= $\frac{1}{2}$ ( p_2V_2 - p_1V_1 )$
5. С учетом этого получаем $Q=\Delta U + A=2 ( p_2V_2 - p_1V_1 )$ Из графика процесса следует, что:
$\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_2}{V_1}$
Поэтому:
$\frac{p_2V_2}{P_1V_1} = ( $\frac{V_2}{V_1}$ ) ^2$
и выражение для количества теплоты делает вид:
$Q=2p_1V_1 ( $\frac{V ^2 _2}{V_1 ^2}$ - 1 ) =2 \nu RT_1 ( $\frac{V_2 ^2}{V_1 ^2}$ - 1 )$
6. Заметим, что искомое отношение плотностей газа массой m в состояниях 1 и 2 = :
$альфа = $\frac{\rho_1}{\rho_2}$ = \frac{$\frac{m}{V_1}$ ,}{$\frac{m}{V_2}$} = \frac{V_2}{V_1}$
Поэтому:
$Q=2 \nu RT_1 ( $\frac{V_2 ^2}{V_1 ^2}$ - 1 ) =2 \nu RT_1 ( альфа ^2 - 1 )$
откуда:
$T_1= \frac{Q}{2 \nu R ( альфа ^2 - 1 )}$
Подставляя в полученную формулу данные, находим $T_1= $\frac{20 \cdot 10 ^3}{2 \cdot 1 \cdot 8,31 \cdot ( 4 - 1 )}$ \approx 400К$
Ответ: $T_1\approx 400К$
2. Из первого закона термодинамики следует, что полученное газом количество теплоты идет на увеличение внутренней энергии газа и на совершение им работы: $Q=\Delta U + A$
3. Используем термодинамическую модель одноатомного идеального газа:
$$$\begin{cases} pV= \nu RT \\[6pt] U= $\frac{3}{2}$ \nu RT. \end{cases}$$$
Изменение его внутренней энергии = $\Delta U= $\frac{3}{2}$ \nu R ( T_2 - T_1 ) = $\frac{3}{2}$ ( p_2V_2 - p_1V_1 )$
4. Совершенная газом работа численно равна площади трапеции под графиком процесса на pV-диаграмме, то есть разности площадей треугольников:
$A= $\frac{1}{2}$ ( p_2V_2 - p_1V_1 )$
5. С учетом этого получаем $Q=\Delta U + A=2 ( p_2V_2 - p_1V_1 )$ Из графика процесса следует, что:
$\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_2}{V_1}$
Поэтому:
$\frac{p_2V_2}{P_1V_1} = ( $\frac{V_2}{V_1}$ ) ^2$
и выражение для количества теплоты делает вид:
$Q=2p_1V_1 ( $\frac{V ^2 _2}{V_1 ^2}$ - 1 ) =2 \nu RT_1 ( $\frac{V_2 ^2}{V_1 ^2}$ - 1 )$
6. Заметим, что искомое отношение плотностей газа массой m в состояниях 1 и 2 = :
$альфа = $\frac{\rho_1}{\rho_2}$ = \frac{$\frac{m}{V_1}$ ,}{$\frac{m}{V_2}$} = \frac{V_2}{V_1}$
Поэтому:
$Q=2 \nu RT_1 ( $\frac{V_2 ^2}{V_1 ^2}$ - 1 ) =2 \nu RT_1 ( альфа ^2 - 1 )$
откуда:
$T_1= \frac{Q}{2 \nu R ( альфа ^2 - 1 )}$
Подставляя в полученную формулу данные, находим $T_1= $\frac{20 \cdot 10 ^3}{2 \cdot 1 \cdot 8,31 \cdot ( 4 - 1 )}$ \approx 400К$
Ответ: $T_1\approx 400К$
Правильный ответ:
$T_1\approx 400К$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 108969 • Задание №26
Опыты по наблюдению фотоэффекта показывают, что работа выхода электрона из кристаллического образца зависит от...
ID 108673 • Задание №25
Препарат активностью 2,4 · 1011 частиц в секунду помещен в железный контейнер. За 1,5 часа температура контейн...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае — термодинамическая модель одноатомного идеального газа, 1-е начало термодинамики, определение плотности вещества, вычисление работы газа по графику процесса на pV-диаграмме);
II) описаны все вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением, возможно, обозначений констант, указанных в варианте КИМ, и обозначений, используемых в условии задачи);
III) проведены необходимые математические преобразования (допускается вербальное указание на их проведение) и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности и проведены необходимые преобразования. Но имеются следующие недостатки.
Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
ИЛИ
В решении лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не отделены от решения (не зачеркнуты, не заключены в скобки, рамку и т. п.).
ИЛИ
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца.
ИЛИ
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи, и ответа.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае — термодинамическая модель одноатомного идеального газа, 1-е начало термодинамики, определение плотности вещества, вычисление работы газа по графику процесса на pV-диаграмме);
II) описаны все вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением, возможно, обозначений констант, указанных в варианте КИМ, и обозначений, используемых в условии задачи);
III) проведены необходимые математические преобразования (допускается вербальное указание на их проведение) и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности и проведены необходимые преобразования. Но имеются следующие недостатки.
Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
ИЛИ
В решении лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не отделены от решения (не зачеркнуты, не заключены в скобки, рамку и т. п.).
ИЛИ
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца.
ИЛИ
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи, и ответа.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №24 по предмету Физика:
ID 108096
Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу ...
ID 108097
Воздушный шар имеет газонепроницаемую оболочку массой 400 кг и наполнен гелием. Какова масса ге...
ID 108098
Теплоизолированный цилиндр разделен подвижным теплопроводным поршнем на две части. В одной част...
ID 108099
[рис.] Воздушный шар, оболочка которого имеет массу M = 145 кг и объем V = 230 м3, наполняе...
ID 108100
[рис.] В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под поршнем массой m = 10 кг ...