[рис.] С горизонтальной плоскости вначале бросают маленький мячик под углом $альфа =60 ^{\circ}$ к горизонту со скоростью υ = 20 м/с. В момент, когда мячик достигает наивысшего положения на своей траектории, стреляют пулей из ружья со скоростью V = 120 м/с в направлении мячика, причем пуля вылетает из той же точки, из которой был брошен мячик (см. рис.). Под каким углом $\varphi$ к горизонту надо стрелять, чтобы пуля из ружья попала в мячик? Трением мячика и пули о воздух можно пренебречь. Указание: для численного решения уравнений используйте микрокалькулятор.
💡 Пошаговый разбор и решение:
1. Введем прямоугольную систему координат ХОY, где ось ОХ горизонтальна, ось ОY вертикальна, а начало координат находится в точке бросания и выстрела.
2. Как следует из формул кинематики для движения тела, брошенного под углом к горизонту, мячик после броска достигнет верхней точки траектории с координатой
$y_в= $\frac{( v \cdot \sin альфа ) ^2}{2g}$ = $\frac{20 ^2 \cdot 0,75}{2 \cdot 10}$ =15м$
за время
$t_1= $\frac{v \cdot \sin альфа}{g}$ \approx $\frac{20 \cdot 0,866}{10}$ \approx 1,732с$
и сместится по горизонтали со скоростью $v \cdot \cos альфа$ до координаты $x_н= v \cdot \cos альфа \cdot t_1\approx 20 \cdot 0,5 \cdot 1,732\approx 17,32м$
3. В этот момент произойдет выстрел — пуля вылетит со скоростью V под углом $\varphi$ к горизонту, и оба тела начнут свободно падать вниз с ускорением g.
4. Изменения вертикальной координаты y за счет этого падения будут у обоих тел одинаковы и равны $ - \frac{gt ^2}{2}$ если время t отсчитывать от момента выстрела. Поэтому для простоты расчета можно перейти в систему отсчета, свободно падающую вниз с ускорением g.
5. В этой системе мячик летит по горизонтальной прямой с постоянной скоростью $v \cdot \cos альфа =10м/с$ из начальной точки с координатами $x_н= v \cdot \cos альфа \cdot t_1\approx 17,32м$ $y=y_в=15м$ в которой он находился при t = 0, до встречи с пулей в момент T. Пуля же летит по прямой с постоянной скоростью V = 120 м/с из начальной точки x0 = y0 = 0 под углом $\varphi$ к горизонту до попадания в мячик.
6. В момент T координаты мячика и пули должны совпадать: xм = xп = xв, yм = yп = yв, и по формулам для кинематики = мерного прямолинейного движения получаем систему уравнений: $x_в - x_н= v \cdot \cos альфа \cdot T$ $x_в=V \cdot \cos \varphi \cdot T$ $y_в=V \cdot \sin \varphi \cdot T$ решая которую (проще — при помощи микрокалькулятора методом подбора, сразу используя численные значения величин), можно найти $\varphi\approx 38 ^{\circ}$
Примечание.
[рис.]
Для решения можно также воспользоваться методом подбора угла, при котором будут выполняться соотношения, приведенные в данной системе кинематических уравнений. Для начала заметим, что пути, пройденные пулей и мячом до их столкновения, отличаются в $\frac{V}{( v \cos альфа )} = $\frac{120}{10}$ =12$ раз. Построим траектории тел на рисунке (см.).
Если бы стрелок не делал «упреждения», а целился прямо в мячик под углом $\varphi_0= \arctan ( $\frac{y_в}{x_в}$ ) \approx 40,9 ^{\circ}$ то пуля пролетела бы расстояние $l_0=Vt_0$ где
$t_0= $\frac{l_0}{V}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: x_н ^2 + y ^2 _в}$ аргумента}{V} \approx $\frac{22,1}{120}$ \approx 0,1909с$
и прошла сзади мячика. Чтобы в него попасть, надо уменьшить угол $\varphi_0$ на малый угол $\Delta\varphi_0$ который, как видно из рисунка, равен $\Delta\varphi= v \cdot \cos альфа \cdot T \cdot $\frac{\sin \varphi}{l_0}$ меньше меньше \varphi_0$
Весь путь пули равен $l=l_0 + \Delta l$ где расстояние $\Delta l= v \cdot \cos альфа \cdot T \cdot \cos \varphi меньше меньше l_0$ пуля проходит за время $\tau меньше меньше t_0$ и $T=t_0 + \tau$
Поскольку
$\frac{\Delta l}{l} = $\frac{1}{12}$ \cos \varphi= \frac{\Delta l}{l_0 + \Delta l}$
то
$\Delta l= \frac{l_0}{( $\frac{12,}{\cos \varphi - 1 )}$} меньше меньше l_0$
Теперь можно заняться подбором значения $\varphi$ которое, очевидно, может отличаться от $\varphi_0\approx 40,9 ^{\circ}$ только на малое число ^{\circ}. Разумно выбрать и проверить поочередно значения 40°, 39°, 38° — при каком из них будут лучше совпадать левые и правые части уравнений из записанной выше системы. Берем, например,
$\varphi\approx \frac{38 ^{\circ}}{\cos ( 38 ^{\circ} )} \approx 0,788$
$\Delta l= $\frac{22,91}{14,23}$ \approx 1,610м$
$l=22,91 + 1,61\approx 24,52м$
$T= $\frac{l}{V}$ = $\frac{24,52}{120}$ \approx 0,2043с$
$x_в=x_н + v \cdot \cos альфа \cdot T=17,32 + 2,043\approx 19,363м$
$\text{tg} \varphi= $\frac{y_в}{x_в}$ = $\frac{15}{19,363}$ \approx 0,7747$
$\varphi= \arctan ( 0,7747 ) \approx 37,76 ^{\circ} \approx 38 ^{\circ}$ — хорошее согласие!
Далее проверяем:
$T= $\frac{y_в}{V \cdot \sin \varphi}$ = $\frac{15}{120 \cdot 0,6123 )}$ \approx 0,2041$ — тоже хорошо,
$x_в=V \cdot \cos \varphi \cdot T=120 \cdot 0,7906 \cdot 0,2043\approx 19,38м$ — хорошо,
и наконец,
$x_в - x_н= v \cdot \cos альфа \cdot T=2,043м$ — все хорошо согласуется!
Легко убедиться, что для $\varphi=40 ^{\circ}$ и 39° согласие гораздо хуже. Окончательный результат: $\varphi=37,76 ^{\circ}=38 ^{\circ}$
Ответ: $\varphi\approx 38 ^{\circ}$
2. Как следует из формул кинематики для движения тела, брошенного под углом к горизонту, мячик после броска достигнет верхней точки траектории с координатой
$y_в= $\frac{( v \cdot \sin альфа ) ^2}{2g}$ = $\frac{20 ^2 \cdot 0,75}{2 \cdot 10}$ =15м$
за время
$t_1= $\frac{v \cdot \sin альфа}{g}$ \approx $\frac{20 \cdot 0,866}{10}$ \approx 1,732с$
и сместится по горизонтали со скоростью $v \cdot \cos альфа$ до координаты $x_н= v \cdot \cos альфа \cdot t_1\approx 20 \cdot 0,5 \cdot 1,732\approx 17,32м$
3. В этот момент произойдет выстрел — пуля вылетит со скоростью V под углом $\varphi$ к горизонту, и оба тела начнут свободно падать вниз с ускорением g.
4. Изменения вертикальной координаты y за счет этого падения будут у обоих тел одинаковы и равны $ - \frac{gt ^2}{2}$ если время t отсчитывать от момента выстрела. Поэтому для простоты расчета можно перейти в систему отсчета, свободно падающую вниз с ускорением g.
5. В этой системе мячик летит по горизонтальной прямой с постоянной скоростью $v \cdot \cos альфа =10м/с$ из начальной точки с координатами $x_н= v \cdot \cos альфа \cdot t_1\approx 17,32м$ $y=y_в=15м$ в которой он находился при t = 0, до встречи с пулей в момент T. Пуля же летит по прямой с постоянной скоростью V = 120 м/с из начальной точки x0 = y0 = 0 под углом $\varphi$ к горизонту до попадания в мячик.
6. В момент T координаты мячика и пули должны совпадать: xм = xп = xв, yм = yп = yв, и по формулам для кинематики = мерного прямолинейного движения получаем систему уравнений: $x_в - x_н= v \cdot \cos альфа \cdot T$ $x_в=V \cdot \cos \varphi \cdot T$ $y_в=V \cdot \sin \varphi \cdot T$ решая которую (проще — при помощи микрокалькулятора методом подбора, сразу используя численные значения величин), можно найти $\varphi\approx 38 ^{\circ}$
Примечание.
[рис.]
Для решения можно также воспользоваться методом подбора угла, при котором будут выполняться соотношения, приведенные в данной системе кинематических уравнений. Для начала заметим, что пути, пройденные пулей и мячом до их столкновения, отличаются в $\frac{V}{( v \cos альфа )} = $\frac{120}{10}$ =12$ раз. Построим траектории тел на рисунке (см.).
Если бы стрелок не делал «упреждения», а целился прямо в мячик под углом $\varphi_0= \arctan ( $\frac{y_в}{x_в}$ ) \approx 40,9 ^{\circ}$ то пуля пролетела бы расстояние $l_0=Vt_0$ где
$t_0= $\frac{l_0}{V}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: x_н ^2 + y ^2 _в}$ аргумента}{V} \approx $\frac{22,1}{120}$ \approx 0,1909с$
и прошла сзади мячика. Чтобы в него попасть, надо уменьшить угол $\varphi_0$ на малый угол $\Delta\varphi_0$ который, как видно из рисунка, равен $\Delta\varphi= v \cdot \cos альфа \cdot T \cdot $\frac{\sin \varphi}{l_0}$ меньше меньше \varphi_0$
Весь путь пули равен $l=l_0 + \Delta l$ где расстояние $\Delta l= v \cdot \cos альфа \cdot T \cdot \cos \varphi меньше меньше l_0$ пуля проходит за время $\tau меньше меньше t_0$ и $T=t_0 + \tau$
Поскольку
$\frac{\Delta l}{l} = $\frac{1}{12}$ \cos \varphi= \frac{\Delta l}{l_0 + \Delta l}$
то
$\Delta l= \frac{l_0}{( $\frac{12,}{\cos \varphi - 1 )}$} меньше меньше l_0$
Теперь можно заняться подбором значения $\varphi$ которое, очевидно, может отличаться от $\varphi_0\approx 40,9 ^{\circ}$ только на малое число ^{\circ}. Разумно выбрать и проверить поочередно значения 40°, 39°, 38° — при каком из них будут лучше совпадать левые и правые части уравнений из записанной выше системы. Берем, например,
$\varphi\approx \frac{38 ^{\circ}}{\cos ( 38 ^{\circ} )} \approx 0,788$
$\Delta l= $\frac{22,91}{14,23}$ \approx 1,610м$
$l=22,91 + 1,61\approx 24,52м$
$T= $\frac{l}{V}$ = $\frac{24,52}{120}$ \approx 0,2043с$
$x_в=x_н + v \cdot \cos альфа \cdot T=17,32 + 2,043\approx 19,363м$
$\text{tg} \varphi= $\frac{y_в}{x_в}$ = $\frac{15}{19,363}$ \approx 0,7747$
$\varphi= \arctan ( 0,7747 ) \approx 37,76 ^{\circ} \approx 38 ^{\circ}$ — хорошее согласие!
Далее проверяем:
$T= $\frac{y_в}{V \cdot \sin \varphi}$ = $\frac{15}{120 \cdot 0,6123 )}$ \approx 0,2041$ — тоже хорошо,
$x_в=V \cdot \cos \varphi \cdot T=120 \cdot 0,7906 \cdot 0,2043\approx 19,38м$ — хорошо,
и наконец,
$x_в - x_н= v \cdot \cos альфа \cdot T=2,043м$ — все хорошо согласуется!
Легко убедиться, что для $\varphi=40 ^{\circ}$ и 39° согласие гораздо хуже. Окончательный результат: $\varphi=37,76 ^{\circ}=38 ^{\circ}$
Ответ: $\varphi\approx 38 ^{\circ}$
Правильный ответ:
$\varphi\approx 38 градусов$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 106465 • Задание №15
[рис.] По двум тонким прямым проводникам, параллельным друг другу, текут одинаковые токи I (см. рис.). Как нап...
ID 108144 • Задание №24
В сосуде находится смесь водорода и гелия общей массой 4 г. Отношение массы гелия к массе водорода равно 1,5. ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом: (в данном случае: формулы кинематики для движения тела, брошенного под углом к горизонту, разумный выбор системы отсчета и условия встречи двух движущихся тел);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов);
III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеется один или несколько из следующих недостатков.
Записи, соответствующие пунктам II и III, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
И (
ИЛИ
)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачеркнуты.
И (
ИЛИ
)
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги.
И (
ИЛИ
)
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным
критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом: (в данном случае: формулы кинематики для движения тела, брошенного под углом к горизонту, разумный выбор системы отсчета и условия встречи двух движущихся тел);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов);
III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеется один или несколько из следующих недостатков.
Записи, соответствующие пунктам II и III, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
И (
ИЛИ
)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачеркнуты.
И (
ИЛИ
)
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги.
И (
ИЛИ
)
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным
критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №29 по предмету Физика:
ID 109084
В преддверии летнего сезона пожаров двое пожарных в одной из деревень решили заполнить одинаков...
ID 109085
Тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути проходит за время $\tau =1c$ а ...
ID 109086
Тело, свободно падающее с некоторой высоты из состояния покоя, за время $\tau = 1c$ после начал...
ID 109087
Маленький шарик падает сверху на наклонную плоскость и упруго отражается от нее. Угол наклона п...
ID 109088
Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой AB. Угол между плоскостя...