Обоснование.
1.  Выберем систему отсчёта, связанную с закреплённым каркасом, и будем считать её инерциальной (ИСО). Относительно этой ИСО справедлив второй закон Ньютона и можно применять законы сохранения.
2.  Для бусинки используем модель материальной точки.
3.  Так как проволока жёсткая, будем считать каркас абсолютно твёрдым телом и пренебрежём его деформациями.
4.  Будем считать, что удлинение пружины подчиняется закону Гука. Поскольку пружина лёгкая, до подвешивания бусинки её можно считать нерастянутой, и при решении задачи можно пренебрегать её массой.
5.  Проволока гладкая, поэтому в системе отсутствуют внутренние диссипативные силы. Все остальные силы либо консервативные, либо не совершают работы. Следовательно, можно применять закон сохранения механической энергии.
6.  Поскольку начальное воздействие на бусинку очень малое, её начальную кинетическую энергию также можно считать пренебрежимо малой.

[рис.]
Решение.
Согласно условию задачи, при подвешивании бусинки массой m к пружине жёсткостью k она в положении = весия растягивается на величину $\Delta l = \frac{R}{3}$ В соответствии со вторым законом Ньютона, с учётом закона Гука: $mg = k \Delta l = \frac{kR}{3}$
2.  Рассмотрим состояние системы, в котором ось пружины составляет с вертикалью угол α (см. рисунок). Угол AB1B прямой, поэтому в данный момент длина пружины равна $l = 2R \cos альфа$ а высота бусинки над точкой B составляет $h = 2R \sin ^2 альфа$ Обозначим скорость бусинки в рассматриваемый момент через υ и учтём, что в исходном состоянии удлинение пружины было = R. Тогда, согласно закону сохранения механической энергии для данной системы:

$\frac{kR ^2}{2} = $\frac{k ( l - R ) ^2}{2}$ + mgh + \frac{m v ^2}{2}$

3.  Преобразуем это уравнение с учетом ранее записанных соотношений:

$\frac{kR ^2}{2} = $\frac{k ( 2R \cos альфа - R ) ^2}{2}$ + 2mgR \sin ^2 альфа + \frac{m v ^2}{2}$
$kR ^2 = kR ^2 ( 2 \cos альфа - 1 ) ^2 + 4mgR \sin ^2 альфа + m v ^2$
$3mgR = 3mgR ( 2 \cos альфа - 1 ) ^2 + 4mgR \sin ^2 альфа + m v ^2$

$v ^2 = 3gR - 3gR ( 2 \cos альфа - 1 ) ^2 - 4gR \sin ^2 альфа =$
$= 12gR ( \cos альфа - \cos ^2 альфа ) - 4gR ( 1 - \cos ^2 альфа ) = 4gR ( 3 \cos альфа - 2 \cos ^2 альфа - 1 )$ $v ^2 = 3gR - 3gR ( 2 \cos альфа - 1 ) ^2 - 4gR \sin ^2 альфа =$
$= 12gR ( \cos альфа - \cos ^2 альфа ) - 4gR ( 1 - \cos ^2 альфа ) =$
$= 4gR ( 3 \cos альфа - 2 \cos ^2 альфа - 1 )$

4.  Учитывая, что $\cos альфа = \frac{7}{8}$ получаем:

$v = 2 $\sqrt{аргумента: gR ( 3 \cos альфа - 2 \cos ^2 альфа - 1 )}$ аргумента = 2 \sqrt{аргумента: gR ( 3 \cdot $\frac{7}{8}$ - 2 \cdot $\frac{49}{64}$ - 1 )} аргумента = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: $\frac{3gR}{2}$} аргумента$ $v = 2 $\sqrt{аргумента: gR ( 3 \cos альфа - 2 \cos ^2 альфа - 1 )}$ аргумента =$
$= 2 \sqrt{аргумента: gR ( 3 \cdot $\frac{7}{8}$ - 2 \cdot $\frac{49}{64}$ - 1 )} аргумента = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: $\frac{3gR}{2}$} аргумента$

5.  Подставляя численное значение R, находим:

$v = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: $\frac{3 \cdot 10 \cdot 0,6}{2}$} аргумента = 1,5 м/с$

Ответ: $v = $\frac{1}{2}$ \sqrt{аргумента: $\frac{3 \cdot 10 \cdot 0,6}{2}$} аргумента = 1,5 м/с$