Треугольник ABC  — = бедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании, и высота, проведенная из точки C, делит основание AB пополам. Тогда

$AH = AB \cdot \sin \angle ABH = AB \cdot \sin \angle BAC = 2AK \cdot \sin \angle BAC = 2AC \cdot \cos \angle BAC \cdot \sin \angle BAC =$
$= 2AC \cdot \sin \angle BAC \cdot $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 \angle BAC}$ аргумента = 2 \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot $\frac{1}{4}$ \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{16}$} аргумента = $\frac{15}{2}$ = 7,5$ $AH = AB \cdot \sin \angle ABH = AB \cdot \sin \angle BAC = 2AK \cdot \sin \angle BAC =$
$= 2AC \cdot \cos \angle BAC \cdot \sin \angle BAC = 2AC \cdot \sin \angle BAC \cdot $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 \angle BAC}$ аргумента =$
$= 2 \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot $\frac{1}{4}$ \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{16}$} аргумента = $\frac{15}{2}$ = 7,5$ $AH = AB \cdot \sin \angle ABH = AB \cdot \sin \angle BAC =$
$= 2AK \cdot \sin \angle BAC = 2AC \cdot \cos \angle BAC \cdot \sin \angle BAC =$
$= 2AC \cdot \sin \angle BAC \cdot $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 \angle BAC}$ аргумента =$
$= 2 \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot $\frac{1}{4}$ \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{16}$} аргумента = $\frac{15}{2}$ = 7,5$

Ответ: 7,5.

Приведем другое решение.
Проведем из вершины C высоту CK, тогда $\cos \angle CAK = \frac{AK}{AC}$ Кроме того,

$\cos \angle CAK = $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 \angle CAK}$ аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{4}$

поэтому

$AB = 2AK = 2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{4} \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента = 30$

Следовательно, высота $AH = \sin \angle BAC \cdot AB = 0,25 \cdot 30 = 7,5$