Дроби с одинаковыми числителями равны в двух случаях: а)  знаменатели этих дробей равны и при этом отличны от нуля; б)  числители дробей равны нулю, при этом все знаменатели отличны от нуля. Получаем:

$\frac{x - 6}{7x + 3} = $\frac{x - 6}{5x - 1}$ = сильно $$\begin{cases} 7x + 3 не = 0 \\[6pt] 5x - 1 не = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x - 6=0 \\[6pt] 7x + 3=5x - 1 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 6,x = - 2. \end{array} \right.$

Больший из найденных корней равен 6.

Ответ: 6.

Приведем другое решение.
Используем свойство пропорции, раскроем скобки, получим квадратное уравнение:

$\frac{x - 6}{7x + 3} = $\frac{x - 6}{5x - 1}$ = сильно $$\begin{cases} 7x + 3 не = 0 \\[6pt] 5x - 1 не = 0 \\[6pt] ( x - 6 ) ( 5x - 1 ) = ( x - 6 ) ( 7x + 3 ) \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 7x + 3 не = 0 \\[6pt] 5x - 1 не = 0 \\[6pt] 5x ^2 - 31 x + 6 = 7x ^2 - 39x - 18 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x не = - $\frac{3}{7}$ \\[6pt] x не = $\frac{1}{5}$ \\[6pt] x ^2 - 4x - 12 = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=6,x= - 2. \end{array} \right.$ $ = сильно $$\begin{cases} 7x + 3 не = 0 \\[6pt] 5x - 1 не = 0 \\[6pt] 5x ^2 - 31 x + 6 = 7x ^2 - 39x - 18 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x не = - $\frac{3}{7}$ \\[6pt] x не = $\frac{1}{5}$ \\[6pt] x ^2 - 4x - 12 = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=6,x= - 2. \end{array} \right.$

Искомый больший корень равен 6.

Приведем еще одно решение.
Используем свойство пропорции, разложим на множители:

$\frac{x - 6}{7x + 3} = $\frac{x - 6}{5x - 1}$ \Rightarrow ( x - 6 ) ( 5x - 1 ) = ( x - 6 ) ( 7x + 3 ) = сильно$
$ = сильно ( x - 6 ) ( 5x - 1 ) - ( x - 6 ) ( 7x + 3 ) = 0 = сильно ( x - 6 ) ( - 2x - 4 ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=6,x= - 2. \end{array} \right.$ $ = сильно ( x - 6 ) ( 5x - 1 ) - ( x - 6 ) ( 7x + 3 ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x - 6 ) ( - 2x - 4 ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=6,x= - 2. \end{array} \right.$

При умножении на зависящие от переменной знаменатели могли появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение:

$\frac{6 - 6}{42 + 3} = \frac{6 - 6}{30 - 1}$   — верно,
$\frac{ - 2 - 6}{ - 14 + 3} = \frac{ - 2 - 6}{ - 10 - 1}$   — верно.

Следовательно, уравнение имеет два корня, больший из которых равен 6.