Математика. Профильный уровень

Последовательно получаем:

$\frac{4}{7} x= целая часть: 7, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 7 = сильно $\frac{4}{7}$ x= $\frac{52}{7}$ = сильно 4x=52 = сильно x=13$

Ответ: 13.

Последовательно получаем:

$ - $\frac{2}{9}$ x= целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 9 = сильно - $\frac{2}{9}$ x= $\frac{10}{9}$ = сильно - 2x=10 = сильно x= - 5$

Ответ: −5.

Возведем в квадрат, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $( a \pm b ) ^2 = a ^2 \pm 2ab + b ^2 :$

$( 2x + 7 ) ^2 = ( 2x - 1 ) ^2 = сильно 4x ^2 + 28x + 49 = 4x ^2 - 4x + 1 = сильно 32x = - 48 = сильно x = - 1,5$ $( 2x + 7 ) ^2 = ( 2x - 1 ) ^2 = сильно 4x ^2 + 28x + 49 = 4x ^2 - 4x + 1 = сильно$
$ = сильно 32x = - 48 = сильно x = - 1,5$ $( 2x + 7 ) ^2 = ( 2x - 1 ) ^2 = сильно$
$ = сильно 4x ^2 + 28x + 49 = 4x ^2 - 4x + 1 = сильно$
$ = сильно 32x = - 48 = сильно x = - 1,5$

Ответ: − 1,5.

Приведём другое решение.
Разложим на множители, используя формулу разности квадратов $a ^2 - b ^2 = ( a + b ) ( a - b ) :$

$( 2x + 7 ) ^2 = ( 2x - 1 ) ^2 = сильно ( 2x + 7 ) ^2 - ( 2x - 1 ) ^2 = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2x + 7 + 2x - 1 ) ( 2x + 7 - ( 2x - 1 ) ) = 0 = сильно ( 4x + 6 ) \cdot 8 = 0 = сильно 4x + 6 = 0 = сильно x = - 1,5$ $( 2x + 7 ) ^2 = ( 2x - 1 ) ^2 = сильно ( 2x + 7 ) ^2 - ( 2x - 1 ) ^2 = 0 = сильно$
$ = сильно ( 2x + 7 + 2x - 1 ) ( 2x + 7 - ( 2x - 1 ) ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( 4x + 6 ) \cdot 8 = 0 = сильно 4x + 6 = 0 = сильно x = - 1,5$

Приведём ещё одно решение.
Квадраты двух чисел равны, если сами числа либо равны, либо противоположны:

$( 2x + 7 ) ^2 = ( 2x - 1 ) ^2 = сильно \left[ \begin{array}{l} 2x + 7 = 2x - 1, 2x + 7 = - ( 2x - 1 ) \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0x = - 8, 4x = - 6 \end{array} \right. . = сильно x = - 1,5$ $( 2x + 7 ) ^2 = ( 2x - 1 ) ^2 = сильно \left[ \begin{array}{l} 2x + 7 = 2x - 1, 2x + 7 = - ( 2x - 1 ) \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 0x = - 8, 4x = - 6 \end{array} \right. . = сильно x = - 1,5$

Используем формулы квадрата суммы и разности:

$( x - 6 ) ^2 = - 24x = сильно x ^2 - 12x + 36= - 24x = сильно x ^2 + 12x + 36=0 = сильно ( x + 6 ) ^2 =0 = сильно x= - 6$ $( x - 6 ) ^2 = - 24x = сильно x ^2 - 12x + 36= - 24x = сильно$
$ = сильно x ^2 + 12x + 36=0 = сильно ( x + 6 ) ^2 =0 = сильно x= - 6$

Ответ: −6.

Переведем число в правой части уравнения в неправильную дробь и умножим обе части уравнения на 3, получаем:

$\frac{1}{3} x ^2 = целая часть: 16, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 = сильно $\frac{1}{3}$ x ^2 = $\frac{49}{3}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=7; новая строка x= - 7. \end{array} \right.$

Ответ: −7.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

$x ^2 - 17x + 72=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= \frac{17 + $\sqrt{аргумента: 289 - 288}$ аргумента}{2} , новая строка x= \frac{17 - $\sqrt{аргумента: 289 - 288}$ аргумента}{2} \end{array} \right. = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=9, новая строка x=8. \end{array} \right.$

Примечание.
По теореме Виета сумма корней уравнения равна 17, а их произведение = 72. По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения являются числа 8 и 9.

Ответ: 8.

Воспользуемся формулой $( a + b ) ^2 =a ^2 + 2ab + b ^2$ :

$x ^2 + 9= ( x + 9 ) ^2 = сильно x ^2 + 9=x ^2 + 18x + 81 = сильно 18x= - 72 = сильно x= - 4$

Ответ: −4.

Извлекая кубический $\sqrt{обеих}$ частей уравнения, получаем $x - 1= - 2$ откуда $x= - 1$

Ответ: −1.

Извлекая кубический $\sqrt{обеих}$ частей уравнения, получаем $x - 1=2$ откуда $x=3$

Ответ: 3.

Последовательно получаем:

$\frac{9}{x ^2 - 16} =1 = сильно x ^2 - 16=9 = сильно x ^2 =25 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=5; новая строка x= - 5. \end{array} \right.$

Больший корень равен 5.

Ответ: 5.

Область определения уравнения задается соотношением $2x ^2 не = 7$ На области определения имеем:

$\frac{13x}{2x ^2 - 7} =1 = сильно 13x=2x ^2 - 7 = сильно 2x ^2 - 13x - 7=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= \frac{13 + $\sqrt{аргумента: 169 + 56}$ аргумента}{4} ; новая строка x= \frac{13 - $\sqrt{аргумента: 169 + 56}$ аргумента}{4} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=7; новая строка x= - 0,5. \end{array} \right.$ $\frac{13x}{2x ^2 - 7} =1 = сильно 13x=2x ^2 - 7 = сильно 2x ^2 - 13x - 7=0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= \frac{13 + $\sqrt{аргумента: 169 + 56}$ аргумента}{4} ; новая строка x= \frac{13 - $\sqrt{аргумента: 169 + 56}$ аргумента}{4} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=7; новая строка x= - 0,5. \end{array} \right.$ $\frac{13x}{2x ^2 - 7} =1 = сильно 13x=2x ^2 - 7 = сильно$
$ = сильно 2x ^2 - 13x - 7=0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= \frac{13 + $\sqrt{аргумента: 169 + 56}$ аргумента}{4} ; новая строка x= \frac{13 - $\sqrt{аргумента: 169 + 56}$ аргумента}{4} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=7; новая строка x= - 0,5. \end{array} \right.$

Оба найденных решения удовлетворяют условию $2x ^2 не = 7$ меньший из них равен −0,5.

Ответ: −0,5.

Последовательно получаем:

$\frac{1}{9x - 7} = $\frac{1}{2}$ = сильно 9x - 7=2 = сильно 9x=9 = сильно x=1$

Ответ: 1.

Последовательно получаем:

$\frac{1}{4x - 1} =5 = сильно 4x - 1= $\frac{1}{5}$ = сильно 4x= $\frac{6}{5}$ = сильно x= \frac{3}{10}$

Ответ: 0,3.

Последовательно получаем:

$\frac{6}{x ^2 - 19} =1 = сильно x ^2 - 19=6 = сильно x ^2 =25 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=5; новая строка x= - 5. \end{array} \right.$

Меньший корень равен −5.

Ответ: −5.

Дроби с одинаковыми числителями равны в двух случаях: а)  знаменатели этих дробей равны и при этом отличны от нуля; б)  числители дробей равны нулю, при этом все знаменатели отличны от нуля. Получаем:

$\frac{x - 6}{7x + 3} = $\frac{x - 6}{5x - 1}$ = сильно $$\begin{cases} 7x + 3 не = 0 \\[6pt] 5x - 1 не = 0 \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} x - 6=0 \\[6pt] 7x + 3=5x - 1 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 6,x = - 2. \end{array} \right.$

Больший из найденных корней равен 6.

Ответ: 6.

Приведем другое решение.
Используем свойство пропорции, раскроем скобки, получим квадратное уравнение:

$\frac{x - 6}{7x + 3} = $\frac{x - 6}{5x - 1}$ = сильно $$\begin{cases} 7x + 3 не = 0 \\[6pt] 5x - 1 не = 0 \\[6pt] ( x - 6 ) ( 5x - 1 ) = ( x - 6 ) ( 7x + 3 ) \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 7x + 3 не = 0 \\[6pt] 5x - 1 не = 0 \\[6pt] 5x ^2 - 31 x + 6 = 7x ^2 - 39x - 18 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x не = - $\frac{3}{7}$ \\[6pt] x не = $\frac{1}{5}$ \\[6pt] x ^2 - 4x - 12 = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=6,x= - 2. \end{array} \right.$ $ = сильно $$\begin{cases} 7x + 3 не = 0 \\[6pt] 5x - 1 не = 0 \\[6pt] 5x ^2 - 31 x + 6 = 7x ^2 - 39x - 18 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x не = - $\frac{3}{7}$ \\[6pt] x не = $\frac{1}{5}$ \\[6pt] x ^2 - 4x - 12 = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=6,x= - 2. \end{array} \right.$

Искомый больший корень равен 6.

Приведем еще одно решение.
Используем свойство пропорции, разложим на множители:

$\frac{x - 6}{7x + 3} = $\frac{x - 6}{5x - 1}$ \Rightarrow ( x - 6 ) ( 5x - 1 ) = ( x - 6 ) ( 7x + 3 ) = сильно$
$ = сильно ( x - 6 ) ( 5x - 1 ) - ( x - 6 ) ( 7x + 3 ) = 0 = сильно ( x - 6 ) ( - 2x - 4 ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=6,x= - 2. \end{array} \right.$ $ = сильно ( x - 6 ) ( 5x - 1 ) - ( x - 6 ) ( 7x + 3 ) = 0 = сильно$
$ = сильно ( x - 6 ) ( - 2x - 4 ) = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=6,x= - 2. \end{array} \right.$

При умножении на зависящие от переменной знаменатели могли появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение:

$\frac{6 - 6}{42 + 3} = \frac{6 - 6}{30 - 1}$   — верно,
$\frac{ - 2 - 6}{ - 14 + 3} = \frac{ - 2 - 6}{ - 10 - 1}$   — верно.

Следовательно, уравнение имеет два корня, больший из которых равен 6.