Прямая $y= - 4x - 11$ является касательной к графику функции $y=x ^3 + 7x ^2 + 7x - 6$ Найдите абсциссу точки касания.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Значение производной в точке касания = угловому коэффициенту касательной. Поэтому абсциссы точек касания удовлетворяют уравнению $y'= - 4$ :
$3x ^2 + 14x + 7 = - 4 = сильно 3x ^2 + 14x + 11 = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - 1, x= - $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$
Абсциссы точек пересечения должны удовлетворять уравнению $x ^3 + 7x ^2 + 7x - 6 = - 4x - 11$ Проверка показывает, что число −1 ему удовлетворяет, а число $ - \frac{11}{3}$ — нет.
Ответ: −1.
Условие касания можно записать в общем виде.
Условие касания графика функции $y=f ( x )$ и прямой $y=kx + b$ задаётся системой уравнений:
$$$\begin{cases} f' ( x ) =k \\[6pt] f ( x ) =kx + b. \end{cases}$$$
В нашем случае имеем:
$$$\begin{cases} 3x ^2 + 14x + 7= - 4 \\[6pt] x ^3 + 7x ^2 + 7x - 6= - 4x - 11 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 3x ^2 + 14x + 11=0 \\[6pt] новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{11}{3}$ \\[6pt] x= - 1 \end{cases}$$ } новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 ( * ) . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} 3x ^2 + 14x + 7= - 4 \\[6pt] x ^3 + 7x ^2 + 7x - 6= - 4x - 11 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 3x ^2 + 14x + 11=0 \\[6pt] новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{11}{3}$ \\[6pt] x= - 1 \end{cases}$$ } новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 ( * ) . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} 3x ^2 + 14x + 7= - 4 \\[6pt] x ^3 + 7x ^2 + 7x - 6= - 4x - 11 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 3x ^2 + 14x + 11=0 \\[6pt] новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{11}{3}$ \\[6pt] x= - 1 \end{cases}$$ } новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 ( * ) . \end{array} \right.$
Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.
Ответ: −1.
$3x ^2 + 14x + 7 = - 4 = сильно 3x ^2 + 14x + 11 = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x= - 1, x= - $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$
Абсциссы точек пересечения должны удовлетворять уравнению $x ^3 + 7x ^2 + 7x - 6 = - 4x - 11$ Проверка показывает, что число −1 ему удовлетворяет, а число $ - \frac{11}{3}$ — нет.
Ответ: −1.
Условие касания можно записать в общем виде.
Условие касания графика функции $y=f ( x )$ и прямой $y=kx + b$ задаётся системой уравнений:
$$$\begin{cases} f' ( x ) =k \\[6pt] f ( x ) =kx + b. \end{cases}$$$
В нашем случае имеем:
$$$\begin{cases} 3x ^2 + 14x + 7= - 4 \\[6pt] x ^3 + 7x ^2 + 7x - 6= - 4x - 11 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка 3x ^2 + 14x + 11=0 \\[6pt] новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{11}{3}$ \\[6pt] x= - 1 \end{cases}$$ } новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 ( * ) . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} 3x ^2 + 14x + 7= - 4 \\[6pt] x ^3 + 7x ^2 + 7x - 6= - 4x - 11 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 3x ^2 + 14x + 11=0 \\[6pt] новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{11}{3}$ \\[6pt] x= - 1 \end{cases}$$ } новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 ( * ) . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} 3x ^2 + 14x + 7= - 4 \\[6pt] x ^3 + 7x ^2 + 7x - 6= - 4x - 11 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка 3x ^2 + 14x + 11=0 \\[6pt] новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} x= - $\frac{11}{3}$ \\[6pt] x= - 1 \end{cases}$$ } новая строка x ^3 + 7x ^2 + 11x + 5=0 ( * ) . \end{array} \right.$
Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.
Ответ: −1.
Правильный ответ:
-1
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71355 • Задание №18
Сева экспериментирует с таблицей 3 на 3 клетки. Его задача — разместить в ней монеты таким образом, чтобы во ...
ID 67448 • Задание №13
а) Решите уравнение $тангенс x левая круглая скобка \ctg x минус косинус x правая круглая скобка =2 синус в к...
🔗 Другие задания линии №8 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 65880
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65881
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65882
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65883
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65884
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...