Условие касания графика функции $y=f ( x )$ и прямой $y=kx + l$ задаётся системой требований:

$$$\begin{cases} f' ( x ) =k \\[6pt] f ( x ) =kx + l. \end{cases}$$$

В нашем случае имеем:

$$$\begin{cases} 56x + b= - 5 \\[6pt] 28x ^2 + bx + 15= - 5x + 8 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} b= - 5 - 56x \\[6pt] 28x ^2 + ( - 5 - 56x ) x + 15= - 5x + 8 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} b= - 5 - 56x \\[6pt] x ^2 = $\frac{1}{4}$ . \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 56x + b= - 5 \\[6pt] 28x ^2 + bx + 15= - 5x + 8 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} b= - 5 - 56x \\[6pt] 28x ^2 + ( - 5 - 56x ) x + 15= - 5x + 8 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} b= - 5 - 56x \\[6pt] x ^2 = $\frac{1}{4}$ . \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 56x + b= - 5 \\[6pt] 28x ^2 + bx + 15= - 5x + 8 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} b= - 5 - 56x \\[6pt] 28x ^2 + ( - 5 - 56x ) x + 15= - 5x + 8 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} b= - 5 - 56x \\[6pt] x ^2 = $\frac{1}{4}$ . \end{cases}$$$

По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x  =  0,5, откуда b  =  −33.

Приведём другое решение.
Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение $28x ^2 + bx + 15= - 5x + 8$ должно иметь единственное решение, а значит, должен равняться нулю дискриминант уравнения $28x ^2 + ( b + 5 ) x + 7=0$ Найдем его:

$D= ( b + 5 ) ^2 - 4 \cdot 7 \cdot 28 = ( b + 5 ) ^2 - 28 ^2 = ( b + 5 + 28 ) ( b + 5 - 28 ) = ( b + 33 ) ( b - 23 )$ $D= ( b + 5 ) ^2 - 4 \cdot 7 \cdot 28 = ( b + 5 ) ^2 - 28 ^2 =$
$= ( b + 5 + 28 ) ( b + 5 - 28 ) = ( b + 33 ) ( b - 23 )$

Дискриминант обращается в нуль при $b= - 33$ или $b=23$
Проверим, положительны ли абсциссы точек касания при найденных значениях параметра. Для этого подставим их в уравнение $28x ^2 + ( b + 5 ) x + 7=0$ При $b= - 33$ имеем:

$28x ^2 - 28x + 7=0 = сильно 4х ^2 - 4x + 1=0 = сильно ( 2x - 1 ) ^2 =0 = сильно x= \frac{1}{2}$

Аналогично при $b=23$ имеем:

$28x ^2 + 28x + 7=0 = сильно 4х ^2 + 4x + 1=0 = сильно ( 2x + 1 ) ^2 =0 = сильно x= - \frac{1}{2}$

Точка касания имеет положительную абсциссу при $b= - 33$

Ответ: −33.