а)  Ясно, что $\cos x не = 0$ так как степенная функция с целым отрицательным показателем определена только для чисел, отличных от нуля:

$\frac{\sin x}{\cos в степени ( - 2 ) x} + 1= $\frac{1}{2}$ \cdot ( $\frac{5}{4}$ + 3 ( 1 - \sin ^2 x ) + $\frac{\sin x}{2}$ ) = сильно \sin x \cdot \cos ^2 x + 1 - $\frac{5}{8}$ - $\frac{3}{2}$ \cos ^2 x - $\frac{1}{4}$ \sin x=0 = сильно$ $\frac{\sin x}{\cos в степени ( - 2 ) x} + 1= $\frac{1}{2}$ \cdot ( $\frac{5}{4}$ + 3 ( 1 - \sin ^2 x ) + $\frac{\sin x}{2}$ ) = сильно$
$ = сильно \sin x \cdot \cos ^2 x + 1 - $\frac{5}{8}$ - $\frac{3}{2}$ \cos ^2 x - $\frac{1}{4}$ \sin x=0 = сильно$

$ = сильно 8 \sin x \cdot \cos ^2 x + 8 - 5 - 12 \cos ^2 x - 2 \sin x=0 = сильно ( 8 \sin x \cdot \cos ^2 x - 12 \cos ^2 x ) - ( 2 \sin x - 3 ) =0 = сильно$ $ = сильно 8 \sin x \cdot \cos ^2 x + 8 - 5 - 12 \cos ^2 x - 2 \sin x=0 = сильно$
$ = сильно ( 8 \sin x \cdot \cos ^2 x - 12 \cos ^2 x ) - ( 2 \sin x - 3 ) =0 = сильно$
$4 \cos ^2 x ( 2 \sin x - 3 ) - ( 2 \sin x - 3 ) =0 = сильно ( 2 \sin x - 3 ) \cdot ( 4 \cos ^2 x - 1 ) =0$

Уравнение $2 \sin x - 3=0$ не имеет из-за ограниченности \sin а. Рассмотрим второй множитель:

$\cos ^2 x= $\frac{1}{4}$ = сильно x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi n,n принадлежит Z$ $x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi n,n принадлежит Z$

Итак, общим решением заданного уравнения являются числа вида $x=\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi n,n принадлежит Z$
б)  Отбор корней можно сделать несколькими способами:
1.  Путем решения двойных неравенств.
Решим неравенство $2 \pi меньше или = - $\frac{\pi}{3}$ + \pi n меньше или = \frac{13 \pi}{3}$ относительно целых $n:$

$6 меньше или = - 1 + 3n меньше или = 13 = сильно 7 меньше или = 3n меньше или = 14 = сильно $\frac{7}{3}$ меньше или = n меньше или = $\frac{14}{3}$ = сильно$
$ = сильно 2 + $\frac{1}{3}$ меньше или = n меньше или = 4 + $\frac{2}{3}$ 2 + $\frac{1}{3}$ меньше или = n меньше или = 4 + $\frac{2}{3}$ = сильно 3 меньше или = n меньше или = 4$ $6 меньше или = - 1 + 3n меньше или = 13 = сильно$
$ = сильно 7 меньше или = 3n меньше или = 14 = сильно $\frac{7}{3}$ меньше или = n меньше или = $\frac{14}{3}$ = сильно$
$ = сильно 2 + $\frac{1}{3}$ меньше или = n меньше или = 4 + $\frac{2}{3}$ 2 + $\frac{1}{3}$ меньше или = n меньше или = 4 + $\frac{2}{3}$ = сильно$
$ = сильно 3 меньше или = n меньше или = 4$

При $n=3$ получим $x_1= - $\frac{\pi}{3}$ + 3 \pi = \frac{8 \pi}{3}$ при $n=4x_2= - $\frac{\pi}{3}$ + 4 \pi = \frac{11 \pi}{3}$
Теперь решим неравенство $2 \pi меньше или = $\frac{\pi}{3}$ + \pi n меньше или = \frac{13 \pi}{3}$

$6 меньше или = 1 + 3n меньше или = 13 = сильно 5 меньше или = 3n меньше или = 12 = сильно $\frac{5}{3}$ меньше или = n меньше или = 4 = сильно 1 + $\frac{2}{3}$ меньше или = n меньше или = 4$ $n=2$ $n=3$ $n=4$

При $n=2$ $x_3= $\frac{\pi}{3}$ + 2 \pi = \frac{7 \pi}{3}$ при $n=3$ $x_4= $\frac{\pi}{3}$ + 3 \pi = \frac{10 \pi}{3}$ при $n=4$ $x_5= $\frac{\pi}{3}$ + 4 \pi = \frac{13 \pi}{3}$
Таким образом, корнями уравнения, принадлежащими заданному отрезку, являются числа: $\frac{7 \pi}{3}$ $\frac{8 \pi}{3}$ $\frac{10 \pi}{3}$ $\frac{11 \pi}{3}$ $\frac{13 \pi}{3}$

2.  С помощью графика функции $y= \cos x$
Для этого достаточно построить график для значений x от $2 \pi$ до $5 \pi$ пересечь график прямыми $y= \frac{1}{2}$ $y= - \frac{1}{2}$ Точек пересечения этих прямых и графика функции $y= \cos x$ окажется 5.

[рис.]

Абсциссы точек пересечения легко обнаружить:

$2 \pi + $\frac{\pi}{3}$ = \frac{7 \pi}{3}$ $3 \pi - $\frac{\pi}{3}$ = \frac{8 \pi}{3}$ $3 \pi + $\frac{\pi}{3}$ = \frac{10 \pi}{3}$ $4 \pi - $\frac{\pi}{3}$ = \frac{11 \pi}{3}$ $4 \pi + $\frac{\pi}{3}$ = \frac{13 \pi}{3}$

3.  Перебором различных целых значений $n$
Легко заметить, что из серии корней $x= $\frac{\pi}{3}$ + \pi n,n принадлежит Z$ можно получить искомые корни только при $n больше или = 2$ а из серии $x= $\frac{\pi}{3}$ + \pi n,n принадлежит Z$   — только при $n больше или = 3$

[рис.]

При значениях $n больше или = 5$ дальнейшие поиски корней не имеет смысла.

4.  С помощью единичной окружности

[рис.]

Однако, как показывает опыт, последний способ отбора корней, принадлежащих заданному промежутку, с помощью единичной окружности в большинстве случаев является самым удобным способом, быстро приводящим к цели.
Замечание: В самом начале решения задачи мы отметили, что $\cos x не = 0$ Если в конце решения мы получили бы результат $\cos x=0$ или $\sin x=\pm 1$ то серию корней $x= $\frac{\pi}{2}$ + \pi n,n принадлежит Z$ исключили бы как посторонние.

Ответ: а) $\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi n,n принадлежит Z$ б) $\frac{7 \pi}{3} ; \frac{8 \pi}{3}$ $\frac{10 \pi}{3}$ $\frac{11 \pi}{3}$ $\frac{13 \pi}{3}$