а)  Выражение $\log _g ( x ) f ( x )$ имеет смысл, если выполнены следующие условия: $f ( x ) больше 0, g ( x ) больше 0, g ( x ) не = 1$ Но в нашем случае по определению \log а также должно выполняться условие $f ( x ) =g ( x )$ Следовательно, для нахождения ограничений на x достаточно проверить выполнение двух условий: $1 - \cos x - \sin x не = 1$ и $1 - \cos x - \sin x больше 0$
Из первого неравенства получим следующую необходимую информацию: $\cos x + \sin x не = 0$ А проверку выполнения второго неравенства отложим до завершающего этапа наших исследований.
Решим уравнение: $\cos 2x - \sin 2x=1 - \cos x - \sin x$

$1 - \cos 2x + \sin 2x - ( \cos x + \sin x ) =0 = сильно ( 2 \sin ^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x ) - ( \cos x + \sin x ) =0 = сильно$ $1 - \cos 2x + \sin 2x - ( \cos x + \sin x ) =0 = сильно$
$ = сильно ( 2 \sin ^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x ) - ( \cos x + \sin x ) =0 = сильно$

$ = сильно 2 \sin x ( \sin x + \cos x ) - ( \cos x + \sin x ) =0 = сильно ( \sin x + \cos x ) \cdot ( 2 \sin x - 1 ) =0$ $ = сильно 2 \sin x ( \sin x + \cos x ) - ( \cos x + \sin x ) =0 = сильно$
$ = сильно ( \sin x + \cos x ) \cdot ( 2 \sin x - 1 ) =0$

Выше выявлено, что $\cos x + \sin x не = 0$ следовательно, нам предстоит решить только уравнение $\sin x= \frac{1}{2}$ Его решения известны: $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$ $\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$
Теперь проверим выполнение неравенства $1 - \cos x - \sin x больше 0$ для каждой из полученных серий решений.
При $x= $\frac{\pi}{6}$ + 2 \pi n,n принадлежит Z$ $1 - \cos x - \sin x=1 - \cos $\frac{\pi}{6}$ - \sin $\frac{\pi}{6}$ =1 - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} меньше 0$ Таким образом, серия корней $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$   — серия посторонних корней.
Если $x= $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n,n принадлежит Z$ то

$1 - \cos x - \sin x=1 - \cos $\frac{5 \pi}{6}$ - \sin $\frac{5 \pi}{6}$ =1 + \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ + \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} больше 0$

Итак, множество корней заданного уравнения имеет вид: $\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$
б)  Выборка корней:

$ - $\frac{8 \pi}{7}$ меньше или = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n меньше или = $\frac{7 \pi}{8}$ = сильно - $\frac{8}{7}$ меньше или = $\frac{5}{6}$ + 2n меньше или = $\frac{7}{8}$ = сильно - $\frac{8}{7}$ - $\frac{5}{6}$ меньше или = 2n меньше или = $\frac{7}{8}$ - $\frac{5}{6}$ = сильно$ $ - $\frac{8 \pi}{7}$ меньше или = $\frac{5 \pi}{6}$ + 2 \pi n меньше или = $\frac{7 \pi}{8}$ = сильно - $\frac{8}{7}$ меньше или = $\frac{5}{6}$ + 2n меньше или = $\frac{7}{8}$ = сильно$
$ = сильно - $\frac{8}{7}$ - $\frac{5}{6}$ меньше или = 2n меньше или = $\frac{7}{8}$ - $\frac{5}{6}$ = сильно$

$ = сильно - $\frac{83}{42}$ меньше или = 2n меньше или = $\frac{21 - 20}{24}$ = сильно - $\frac{83}{84}$ меньше или = n меньше или = \frac{1}{48}$

Решения последнего неравенство в целых числах: $n=0$
При $n=0$ искомый корень равен $\frac{5 \pi}{6}$

Ответ: а) $\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n,n принадлежит Z$ б) $\frac{5 \pi}{6}$