а) Решите уравнение $\log _2 ( 3 \sin x - \cos x ) + \log _2 \cos x=0$
б) Найдите все корни на промежутке $[ 0; $\frac{3 \pi}{2}$ ]$
б) Найдите все корни на промежутке $[ 0; $\frac{3 \pi}{2}$ ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Решим уравнение
$\log _2 ( 3 \sin x - \cos x ) + \log _2 \cos x=0 = сильно $$\begin{cases} ( 3 \sin x - \cos x ) \cdot \cos x=1 \\[6pt] 3 \sin x больше \cos x \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 3 \sin x \cdot \cos x - \cos ^2 x - \sin ^2 x - \cos ^2 x=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin ^2 x - 3 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos ^2 x=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$ $ = сильно $$\begin{cases} 3 \sin x \cdot \cos x - \cos ^2 x - \sin ^2 x - \cos ^2 x=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin ^2 x - 3 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos ^2 x=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \text{tg} ^2 x - 3 \text{tg} x + 2=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} новая строка \text{tg} x=1 \\[6pt] новая строка \text{tg} x=2 \end{cases}$$ \cos x больше 0 \end{array} \right. = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n, новая строка x= \arctan 2 + 2 \pi n,n принадлежит Z . \end{array} \right.$ $ = сильно $$\begin{cases} \text{tg} ^2 x - 3 \text{tg} x + 2=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} новая строка \text{tg} x=1 \\[6pt] новая строка \text{tg} x=2 \end{cases}$$ \cos x больше 0 \end{array} \right. = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n, новая строка x= \arctan 2 + 2 \pi n,n принадлежит Z . \end{array} \right.$
б) Серии $x= $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n$ и $x= \arctan 2 + 2 \pi n,n принадлежит Z$ задают корни, расположенные в первой четверти. Из них в промежутке $[ 0; $\frac{3 \pi}{2}$ ]$ окажутся лишь два корня: $\frac{\pi}{4}$ и $\arctan 2$
$\log _2 ( 3 \sin x - \cos x ) + \log _2 \cos x=0 = сильно $$\begin{cases} ( 3 \sin x - \cos x ) \cdot \cos x=1 \\[6pt] 3 \sin x больше \cos x \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 3 \sin x \cdot \cos x - \cos ^2 x - \sin ^2 x - \cos ^2 x=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \sin ^2 x - 3 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos ^2 x=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$ $ = сильно $$\begin{cases} 3 \sin x \cdot \cos x - \cos ^2 x - \sin ^2 x - \cos ^2 x=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \sin ^2 x - 3 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos ^2 x=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \text{tg} ^2 x - 3 \text{tg} x + 2=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} новая строка \text{tg} x=1 \\[6pt] новая строка \text{tg} x=2 \end{cases}$$ \cos x больше 0 \end{array} \right. = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n, новая строка x= \arctan 2 + 2 \pi n,n принадлежит Z . \end{array} \right.$ $ = сильно $$\begin{cases} \text{tg} ^2 x - 3 \text{tg} x + 2=0 \\[6pt] \text{tg} x больше $\frac{1}{3}$ \\[6pt] \cos x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} новая строка \text{tg} x=1 \\[6pt] новая строка \text{tg} x=2 \end{cases}$$ \cos x больше 0 \end{array} \right. = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x= $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n, новая строка x= \arctan 2 + 2 \pi n,n принадлежит Z . \end{array} \right.$
б) Серии $x= $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi n$ и $x= \arctan 2 + 2 \pi n,n принадлежит Z$ задают корни, расположенные в первой четверти. Из них в промежутке $[ 0; $\frac{3 \pi}{2}$ ]$ окажутся лишь два корня: $\frac{\pi}{4}$ и $\arctan 2$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69063 • Задание №15
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 3 правая круглая скобка умножить на логар...
ID 70582 • Задание №17
Найдите все а, при каждом из которых система
$система выражений корень из: начало аргумента: левая круглая ск...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №8 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 65880
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65881
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65882
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65883
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65884
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...