а) Решите уравнение $\log_{4} ( 4 \sin ^2 2x ) = 2 - \log_{2} ( - 2 \text{tg} x )$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ 2025 \pi ; 2027 \pi ]$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ 2025 \pi ; 2027 \pi ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Уравнение имеет решения, только если $\text{tg} x меньше 0$ а при таких значениях переменной справедливо неравенство $\sin 2x меньше 0$ Тогда
$\log_{4} ( 4 \sin ^2 2x ) = \log_{2} ( 2| \sin 2x| ) = \log_{2} ( - 2 \sin 2x )$
и уравнение принимает вид:
$\log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = 2 - \log_{2} ( - 2 \text{tg} x ) = сильно \log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = \log_{2} ( - 2 \ctg x ) = сильно$
$ = сильно \sin 2x = \ctg x = сильно 2 \sin x \cos x - $\frac{\cos x}{\sin x}$ = 0 = сильно \cos x ( 2 \sin ^2 x - 1 ) = 0 \underset \cos x не = 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \sin x = \pm \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно x = $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \underset \text{tg} x меньше 0 \mathop = сильно x = $\frac{3 \pi}{4}$ + \pi k, k принадлежит Z$ $\log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = 2 - \log_{2} ( - 2 \text{tg} x ) = сильно$
$ = сильно \log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = \log_{2} ( - 2 \ctg x ) = сильно \sin 2x = \ctg x = сильно$
$ = сильно 2 \sin x \cos x - $\frac{\cos x}{\sin x}$ = 0 = сильно \cos x ( 2 \sin ^2 x - 1 ) = 0 \underset \cos x не = 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \sin x = \pm \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно x = $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \underset \text{tg} x меньше 0 \mathop = сильно x = $\frac{3 \pi}{4}$ + \pi k, k принадлежит Z$ $\log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = 2 - \log_{2} ( - 2 \text{tg} x ) = сильно$
$ = сильно \log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = \log_{2} ( - 2 \ctg x ) = сильно$
$ = сильно \sin 2x = \ctg x = сильно 2 \sin x \cos x - $\frac{\cos x}{\sin x}$ = 0 = сильно$
$ = сильно \cos x ( 2 \sin ^2 x - 1 ) = 0 \underset \cos x не = 0 \mathop = сильно \sin x = \pm \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно x = $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \underset \text{tg} x меньше 0 \mathop = сильно x = $\frac{3 \pi}{4}$ + \pi k, k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят решения $\frac{8103 \pi}{4}$ $\frac{8107 \pi}{4}$
Ответ: а) $\{ $\frac{\pi}{2}$ + \pi k; $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{\pi k}{2}$ : k принадлежит Z \}$ б) $\frac{8103 \pi}{4}$ $\frac{8107 \pi}{4}$
$\log_{4} ( 4 \sin ^2 2x ) = \log_{2} ( 2| \sin 2x| ) = \log_{2} ( - 2 \sin 2x )$
и уравнение принимает вид:
$\log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = 2 - \log_{2} ( - 2 \text{tg} x ) = сильно \log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = \log_{2} ( - 2 \ctg x ) = сильно$
$ = сильно \sin 2x = \ctg x = сильно 2 \sin x \cos x - $\frac{\cos x}{\sin x}$ = 0 = сильно \cos x ( 2 \sin ^2 x - 1 ) = 0 \underset \cos x не = 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \sin x = \pm \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно x = $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \underset \text{tg} x меньше 0 \mathop = сильно x = $\frac{3 \pi}{4}$ + \pi k, k принадлежит Z$ $\log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = 2 - \log_{2} ( - 2 \text{tg} x ) = сильно$
$ = сильно \log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = \log_{2} ( - 2 \ctg x ) = сильно \sin 2x = \ctg x = сильно$
$ = сильно 2 \sin x \cos x - $\frac{\cos x}{\sin x}$ = 0 = сильно \cos x ( 2 \sin ^2 x - 1 ) = 0 \underset \cos x не = 0 \mathop = сильно$
$\mathop = сильно \sin x = \pm \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно x = $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \underset \text{tg} x меньше 0 \mathop = сильно x = $\frac{3 \pi}{4}$ + \pi k, k принадлежит Z$ $\log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = 2 - \log_{2} ( - 2 \text{tg} x ) = сильно$
$ = сильно \log_{2} ( - 2 \sin 2x ) = \log_{2} ( - 2 \ctg x ) = сильно$
$ = сильно \sin 2x = \ctg x = сильно 2 \sin x \cos x - $\frac{\cos x}{\sin x}$ = 0 = сильно$
$ = сильно \cos x ( 2 \sin ^2 x - 1 ) = 0 \underset \cos x не = 0 \mathop = сильно \sin x = \pm \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно x = $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{\pi k}{2}$ \underset \text{tg} x меньше 0 \mathop = сильно x = $\frac{3 \pi}{4}$ + \pi k, k принадлежит Z$
б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят решения $\frac{8103 \pi}{4}$ $\frac{8107 \pi}{4}$
Ответ: а) $\{ $\frac{\pi}{2}$ + \pi k; $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{\pi k}{2}$ : k принадлежит Z \}$ б) $\frac{8103 \pi}{4}$ $\frac{8107 \pi}{4}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $дробь: числитель: 8103 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ $дробь: числитель: 8107 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65923 • Задание №8
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество т...
ID 70231 • Задание №17
Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, леж...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №8 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 65880
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65881
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65882
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65883
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65884
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...